专题07 函数中的双变量问题-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之导数

专题7 函数中的双变量问题 一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点, 近几年高考试卷及各地模拟试卷中常出现在函数背景下借组导数处理含有两个变量的等式与不等式问题,这类问题由于变量多,不少同学不知如何下手,其实如能以函数思想为指导,把双变量问题转化为一个或两个一元函数问题,再利用导数就可有效地加以解决. 二、解题秘籍 (一) 与函数单调性有关的双变量问题 此类问题一般是给出含有的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解. 常见结论： (1)若对任意,当时恒有,则在D上是增函数； (2)若对任意,当时恒有,则在D上是增函数； (3)若对任意,当时恒有,则在D上是增函数； (4)若对任意,当时恒有,则在D上是增函数. 【例1】（2022届重庆市涪陵高级中学校高三下学期冲刺适应卷）已知函数. (1)若函数的图像在点处的切线方程为，求函数的极小值； (2)若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】 (1)解：的定义域为， 由函数在点处的切线方程为， 得，解得， 此时，． 令，解得或． 当或时，，即在和上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 则当时，函数取得极小值，即， (2)解：由得． 不等式可变形为， 即因为，，且， 所以函数在上单调递减． 令， 则在上恒成立， 即在上恒成立． 设，，则． 因为当时，， 所以函数在上单调递减，所以， 所以， 即实数的取值范围为． (二) 与极值点有关的双变量问题 与极值点有关的双变量问题,一般是根据是方程的两个根,确定的关系,再通过消元转化为只含有或的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为的齐次式,然后转化为关于的函数. 【例2】（2022届陕西省西安交通大学附属中学高三下学期全真模拟）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)若存在两个极值点，，证明：． 【解析】 (1)的定义域为，，令， 当≤时，即≥时，在上递增， 当时，即时，， 解得，， 当时解得，或，所以函数在，上单调递增， 当时解得，，所以函数在上单调递减. 综上，当≥时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. (2)由（1）可知，存在两个极值点，，即， ，为方程的两个不等正实根， ，． 要证 成立，只需证 即证，即证， 即证， 设，即证- 令，即证， 设，，在上递增，， 所以成立， 即 (三) 与零点有关的双变量问题 与函数零点有关的双变量问题,一般是根据是方程的两个根,确定的关系,再通过消元转化为只含有或的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为的齐次式,然后转化为关于的函数,有时也可转化为关于的函数,若函数中含有参数,可考虑把参数消去,或转化为以参数为自变量的函数. 【例3】（2022届河北省唐山高三三模）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若函数在定义域内有两个不相等的零点． ①求实数a的取值范围； ②证明：． 【解析】 (1)当时，函数，定义域为． ． 由，得． 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． (2)①若函数在定义域内有两个不相等的零点， 则方程有两个不等的实根． 即方程有两个不等的实根． 记，则， 记，则在上单减，且， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递增，在单调递减． ∴． 又∵且当时，， ∴方程为有两个不等的实根时，． ∴当时函数在定义域内有两个不相等的零点． ②要证， 只需证， 只需证， 因为，两式相减得： ． 整理得． 所以只需证， 即证， 即，不妨设，令， 只需证， 只需证， 设， 只需证当时，即可． ∵， ∴在（单调递减， ∴当时，， ∴在单调递增，当时， ∴原不等式得证． 明. (四) 独立双变量,各自构造一元函数 此类问题一般是给出两个独立变量,通过变形,构造两个函数,再利用导数知识求解. 【例4】（2022届北京市朝阳区高三二模）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【解析】 (1)因为， 所以． 当时，与的变化情况如表所示： 0 单调递增 单调递减 所以当时，函数的单调递增区间为， 函数的单调递减区间为． (2)当时，，所以函数为偶函数． 所以当时，函数的单调递增区间为，， 函数的单调递减区间为，, 所以函数的最大值为． 设，则当时，． 对任意，存在，使得成立， 等价于． 当时，函数在区间上的最大值为，不合题意． 当时，函数在区间上的最大值为， 则，解得或， 所以． 当时，函数在区间上的最大值为， 则，解得， 所以. 综上所述，的取值范围是． (五) 构造一元函数求解双变量问题 当两个以上的变元或是两个量的确定关系在解题过程中