专题09 切线问题-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之导数

专题9 切线问题 一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点, 用导数研究曲线的切线是一个主要命题点,2022年高考全国卷有2套试卷在解答题中考查曲线的切线问题,曲线的切线内容主要涉及求曲线的斜率与方程、曲线的条数、公切线问题,由确定切线满足条件的切线是否存在或由切线满足条件求参数或参数范围等. 二、解题秘籍 (一) 求曲线在某点处的切线 求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)； ②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简． 【例1】（2023届江西省名校联考2高三7月第一次摸底测试）已知函数（其中为自然对数的底数）． (1)若,求曲线在处的切线方程； (2)若在内取得极小值-1,求a的值． 【解析】(1)由可得, 当时,,,所以曲线在处的切线方程为,即 (2)由（1）, 当时,, 当时,,在上单调递减,故在内不存在极值； 当时,由得,,, 要使在内存在极小值,,解得, 此时在上单调递减,在上单调递增, 所以取得极小值,即, 解得,． (二)求曲线过某点的切线 求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组得切点(x0,y0),进而确定切线方程． 【例2】（2022届四川省成都市温江区高考适应性考试）(且)． (1)当时,求经过且与曲线相切的直线； (2)记的极小值为,求的最大值． 【解析】 (1)函数的定义域为,, 当时,,设切点为,则,解得,故,切线方程为． (2)由有极小值,故存在零点,令得的极值点,故, 当时,,递减,当时,,递增,因此的极小值, 令,则,, ,令,则, 当时,,递增,当时,,递减,故在处取极大值,同时也是最大值,,所以的最大值为1． (三)求曲线的切线条数 求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题. 【例3】（2022届重庆市南开中学高三高三第十次质量检测）已知函数 (1)当时,求的单调区间； (2)若过原点作曲线的切线有两条,求a的取值范围,并证明这两条切线的斜率互为相反数． 【解析】 (1)由题设则, 当,故在上单减, 当,故在上单增； 所以单调增区间为,单调减区间为. (2)由题设, 故在处的切线方程为, 则,若切线过原点,则, 由题知,关于的方程有两个不等正实根,故且,即；                               设两根分别为,则,且两切线的斜率, 所以,即两条切线的斜率互为相反数． (四)曲线的公切线 研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线. 【例4】（2022高考全国卷甲文）已知函数,曲线在点处的切线也是曲线的切线． （1）若,求a； （2）求a的取值范围． 【解析】（1）由题意知,,,, 则在点处的切线方程为,即, 设该切线与切于点,,则,解得,则,解得. （2）因为,所以在点处的切线方程为,整理得, 设该切线与切于点,,则, 则切线方程为,整理得, 则,整理得, （另法：求出在点处的切线方程后代入解析式,用求解） 令,则,令,解得或, 令,解得或,则变化时,的变化情况如下表： 0 1 0 0 0 则的值域为,故的取值范围为. (五)确定满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围 此类问题或判断符合条件的切线是否存在,或根据切线满足条件求参数的值或范围,求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数,再根据方程根的情况或函数性质去求解. 【例5】（2022届河南省睢县高三上学期11月考）已知函数, (1)若直线与曲线和分别交于两点且曲线在处的切线与在处的切线相互平行,求的取值范围； (2)设在其定义域内有两个不同的极值点且.已知,若不等式恒成立,求的取值范围. 【解析】 (1),,,； 在处的切线与在处的切线相互平行, ,即在上有解, 则问题等价于与在上有交点, 当直线与相切时,设切点为, ,,解得：,； 由图象可知：当,即时,与在上有交点, 实数的取值范围为. (2),； 是的两个极值点,,,； ,, 则由得：, ,即,； 令,则； 令,则； ①当时,恒成立,在上单调递增, ,即恒成立,满足题意； ②当时,若,则,在上单调递减, 此时,即,不合题意； 综上所述：若不等式恒成立,则,又,, 即的取值范围为. 三、典例展示 【例1】（2022届福建省华安县第一中学高三上学期期中）已知函数. (1)证明：是曲线的一条固定的切线； (2)若为函数的极小值点,求的取值范围. 【解析】 (1)证明：函数, 则, 则,,