专题08 指数型函数取对数问题-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之导数

专题8 指数型函数取对数问题 一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点, 在导数解答题中有些指数型函数，常通过取对数转化对数型函数求解，特别是涉及到形如的函数取对数可以起到化繁为简的作用，此外有时取对数还可以改变式子结构，便于发现解题思路，故取对数的方法在解高考导数题中有时能大显身手. 二、解题秘籍 (一) 等式两边同时取对数把乘法运算转化为对数运算，再构造函数 通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算，这种运算法则的改变或能简化运算，或能改变运算式子的结构，从而有利于我们寻找解题思路，因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法.有时对数运算比指数运算来得方便，对一个等式两边取对数是解决含有指数式问题的常用的有效方法. 【例1】（2022届河北省省级联测高三第八次考试）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：． 【解析】 (1)，定义域为， 由，解得， 由，解得， 由，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． (2)∵a，b为两个不相等的正数，且， ∴，即， 由（1）可知，且，时，， 则令， 则为的两根，且， 不妨设，则， 先证，即证，即证， 令，即证在上，， 则， 在上单调递增，即， ∴在上恒成立，即在上单调递减，， ∴，即可得； 再证，即证， 由（1）单调性可得证， 令， ， 在上单调递增， ∴，且当， 所以存在使得， 即当时，单调递减， 当时，单调递增， 又有， 且， 所以恒成立， ∴， 则，即可证得． (二) 等式或不等式两边同时取对数把乘积运算运算转化为加法运算， 形如或的等式或不等式通过两边取对数，可以把乘积运算，转化为加法运算，使运算降级. 【例2】（2022届天津市环城七校联考2022届高三下学期第二次质量调查）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：函数有两个零点； (3)若函数有两个不同的极值点（其中），证明：． 【解析】 (1)， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以函数的单调区间为和； (2)证明：由（1）知， 因为，所以， 又当时，，， 所以函数在上存在一个零点，在上存在一个零点， 所以函数有两个零点； (3)证明：， 则， 因为函数有两个不同的极值点（其中）， 所以，， 要证等价于证， 即证， 所以， 因为， 所以， 又，， 作差得，所以， 所以原不等式等价于要证明， 即， 令， 则上不等式等价于要证：， 令， 则， 所以函数在上递增， 所以， 所以， 所以． (三) 把比较转化为比较的大小 比较两个指数式的大小，有时可以通过取对数，利用对数函数的单调性比较大小，如比较的大小，可通过取对数转化为比较的大小，再转化为比较的大小，然后可以构造函数，利用的单调性比较大小. 【例3】一天，小锤同学为了比较与的大小，他首先画出了的函数图像，然后取了离1.1很近的数字1，计算出了在x=1处的切线方程，利用函数与切线的图像关系进行比较. （1）请利用小锤的思路比較与大小 （2）现提供以下两种类型的曲线，试利用小锤同学的思路选择合适的曲线，比较的大小. 【解析】（1）构造函数，由f(x)在上单调递增，在上单调递减，得，即，取x=1，得 （2）通过取对数，把比较的大小转化为比较e与3的大小，即比较与大小 选，令与公切于e 则有， 记， ∴在上单调递减，在上单调递增, ，下证： 只需证 只需证 而，即 选，通过取对数，把比较的大小转化为比较e与3的大小，即比较与大小，即较与大小 令与y=kx+t切于，则有 令 ∴在上单调递增，在上单调递减, ，当取等 下证，只需证 ， . 三、典例展示 【例1】（2021全国甲卷高考试题）已知且，函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，, 令得,当时，,当时，, ∴函数在上单调递增；上单调递减； （2）,设函数, 则,令，得, 在内,单调递增； 在上,单调递减； , 又，当趋近于时，趋近于0， 所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是, 所以的取值范围是． 【例2】（2022届山东省济南市历城第二中学高三下学期高考冲刺卷）已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)设有两个极值点，，证明：．（…为自然对数的底数） 【解析】 (1)，， ①当时，，在单调递增； ②当时，令解得，时，，单调递增； 时，，单调递减． 综上，当时，在单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减， (2)由题意知，，，是的两根， 即，，解得， 要证，即证，即， 把（*）式代入得， 所以应证， 令，，即证成立， 而， 所以在上单调递增， 所以， 所以命题得证． 【例3】（2022届河北省衡水市部分学校高三上学期11月联考