第一章 第4节 基本不等式及其应用-(教参 练习)2023高考数学一轮复习【高考前沿】

A级——基础保分练 1．下列不等式中，正确的是(　　) A．a＋≥4　　　　　　　 B．a2＋b2≥4ab C．≥ D．x2＋≥2 解析：D　a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错，a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确． 2．(2021·南昌联考)若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是(　　) A．x＝y B．x＝2y C．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1 解析：C　∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2，当且仅当x＝2y 时取等号． 故“x＝2且y＝1 ”是“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件．故选C. 3．(2021·浙江温州期末)已知正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值是(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：C　本题考查基本不等式．已知正数a，b满足a＋b＝1，则＋＝＋＝＋－5＝(a＋b)－5＝＋≥2＝4，当且仅当b＝2a＝时，等号成立，因此＋的最小值是4.故选C. 4．(2021·玉溪高考模拟)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：B　不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)≥(1＋)2≥9，当且仅当y＝x时，取等号，∴≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4. 5．(2021·福建省平和第一中学高考模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A．≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2(a>0，b>0) C．≤(a>0，b>0) D．≤ (a>0，b>0) 解析：D　由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝， 则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝， 再根据题图知FO≤FC，即≤ ，当且仅当a＝b时取等号．故选D. 6．(多选)(2021·东营高三模拟)下列四个函数中，最小值为2的是(　　) A．y＝sin x＋ B．y＝ln x＋ C．y＝ D．y＝4x＋4－x 解析：AD　对于A，因为0<x≤，所以0<sin x≤1，y＝sin x＋≥2，当且仅当sin x＝，即sin x＝1时取等号，符合题意；对于B，当0<x<1时，ln x<0，此时y＝ln x＋为负值，最小值不是2，不符合题意；对于C，y＝＝ ＋，设t＝ ，则t≥ ，因为y＝t＋(t≥)时为增函数，则y≥ ＋＝，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝0时取等号，其最小值为2，符合题意．故选A、D. 7．(多选)(2021·湖北八市联考)在△ABC中，D为边AC上的一点，且满足＝.若P为边BD上的一点，且满足＝m＋n(m>0，n>0)，则下列结论正确的是(　　) A．m＋2n＝1 B．mn的最大值为 C．＋的最小值为6＋4 D．m2＋9n2的最小值为 解析：BD　本题考查平面向量共线定量及基本不等式的应用． 对于A，＝m＋n＝m＋3n， ∵B，P，D三点共线，∴m＋3n＝1，A错误； 对于B，∵m＋3n＝1，∴mn＝m·(3n)≤×＝，B正确； 对于C，＋＝(m＋3n)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4(当且仅当＝，即m＝2n＝4－2时取等号)，C错误； 对于D，m2＋9n2≥＝(当且仅当m＝3n＝时取等号)，D正确． 8．(多选)(2021·招远第一中学模拟)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是(　　) A．a＋b＋c≤ B．(a＋b＋c)2≥3 C．＋＋≥2 D．a2＋b2＋c2≥1 解析：BD　由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 上述三个不等式全部相加得2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c时，等号成立， ∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， ∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥ ， 若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3<2， 因此，A、C选项错误，B、D选项正确．故选B、D. 9．(2021·浙江宁波十校联考)若正数a，b满足a＋b＋2＝ab，则＋的最小值是________． 解析：本题考查基本不等式．由a＋b＋2＝ab，得(a－1)(b－1)＝3， 所以b－1＝，所以＋＝b－1＋. 由a＋b＋2＝ab得a＝，因为a>0，所以b>1，所以b－1>0， 所以