4.3.3 对数函数y=logax的图象和性质-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【创新教程】五维课堂45分钟课时练（北师大版）

７．解析:由题意f １４( )＝log２ １ ４＝－２ , 所以f f １４( )( )＝f(－２)＝５ －２＝１２５． 答案:１ ２５ ８．解析:令m＝ax－１,则函数y＝log２(ax－１)在(１,２) 上为增函数等价于m＝ax－１在(１,２)上为增函数,且 ax－１＞０在(１,２)上恒成立,因此有 a＞０, a－１≥０,{ 即a≥１． 答案:[１,＋∞) ９．解析:因为f(x)是奇函数, 所以f － ２２ æ è ç ö ø ÷＝－f ２２ æ è ç ö ø ÷＝－log２ ２ ２＝ １ ２ ; 设x＜０,则－x＞０,则f(－x)＝log２(－x)． 因为f(x)是奇函数, 所以f(－x)＝－f(x)． 所以当x＜０时,f(x)＝－log２(－x)． 答案:１ ２　－log２ (－x) １０．解析:作 出 f(x)＝|log２x|的 图 象 (如 图),可 知 f １２( )＝f(２)＝１,f(１)＝０,由 题 意 结 合 图 象 知:１≤m≤２． １１．解:(１)由 １＋x＞０, １－x＞０,{ 得－１＜x＜１, 所以函数f(x)的定义域为{x|－１＜x＜１}． (２)因为函数f(x)的定义域为{x|－１＜x＜１}, 又f(－x)＝log２[１＋(－x)]＋log２[１－(－x)]＝ log２(１－x)＋log２(１＋x)＝f(x), 所以函数f(x)＝log２(１＋x)＋log２(１－x)为 偶 函数． (３)f ２２ æ è ç ö ø ÷＝log２ １＋ ２２ æ è ç ö ø ÷＋ log２ １－ ２２ æ è ç ö ø ÷ ＝log２ １＋ ２２ æ è ç ö ø ÷ １－ ２２ æ è ç ö ø ÷[ ] ＝log２ １２ ＝－１． １２．解:易知函数的定义域为(－２,２),定义域关于原点对 称,又f(－x)＝log２ ２＋x ２－x＝－log２ ２－x ２＋x＝－f (x),∴函 数f(x)为奇函数,故其图象关于原点对称,∴①正 确;∵f(x)为奇函数,∴f(x)的图象不关于y 轴对 称,∴②错误;∵当x＝０时,y＝０,∴③正确．综上正 确说法为①③． １３．解:因为f(x)＝x２－x＋b, 所以f(log２a)＝(log２a)２－log２a＋b, 所以(log２a)２－log２a＋b＝b, 所以log２a(log２a－１)＝０, 因为a≠１,所以log２a－１＝０,所以a＝２． 又log２f(a)＝２,所以f(a)＝４,所以a２－a＋b＝４,所 以b＝４－a２＋a＝２,故f(x)＝x２－x＋２． 从 而 f (log２x)＝ (log２x)２ － log２x ＋ ２ ＝ log２x－ １ ２( ) ２ ＋７４． 所以 当log２x＝ １ ２ ,即x＝ ２时,f(log２x)有 最 小 值７ ４． １４．解:先求函数f(x)的单调性,在(０,１)内任取０＜x１ ＜x２ ＜１,则 f(x１)－f(x２)＝ １ x１ －log２ １＋x１ １－x１ － １x２ －log２ １＋x２ １－x２ æ è ç ö ø ÷ ＝ x２－x１ x１x２ ＋log２ (１－x１)(１＋x２) (１＋x１)(１－x２) ＝ x２－x１ x１x２ ＋log２ (１＋x１)(１－x２)＋２(x２－x１) (１＋x１)(１－x２) ＝ x２－x１ x１x２ ＋log２[１＋２􀅰 x２－x１ (１＋x１)(１－x２) ]． 因 为 ０ ＜ x１ ＜ x２ ＜ １,所 以 x２－x１ x１x２ ＞ ０ 且 x２－x１ (１＋x１)(１－x２) ＞０,所 以 x２－x１ x１x２ ＋log２[１＋２􀅰 x２－x１ (１＋x１)(１－x２) ]＞log２１＝０,即f(x１)－f(x２)＞０, 可见函数f(x)在(０,１)上单调递减． 由此可见要使f(x)＞f １３( ) 成立,只需０＜x＜ １ ３． 故所求实数x的取值范围为 ０,１３( )． ３．３　对数函数y＝logax 的图象和性质 第１课时　对数函数的图象和性质 １．A　２．A　３．C　４．C ５．BCD　[作出函数f(x)＝loga(x＋２)(０＜a＜１)的大 致图象如图所示,则函数f(x)的图象过第二、三、四象 限．] ６．BC　[∵f(log１２a)＝f(－log２a)＝f(log２a),∴原不 等式可化为f(log２a)≤f(１),又∵f(x)在区间[０,＋∞) 上单调递增,∴０≤log２a≤１,即１≤a≤２,∵f(x)是偶 函数,∴f(log２a)≤f(－１)．又f(x)在区间(－∞,０] 上单调递减,∴－１≤log２a≤０,∴ １ ２≤a≤１． 综上可知 １ ２≤a≤２． 故选B、C．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋