4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【创新教程】五维课堂45分钟课时练（北师大版）

(２)假设存在实数a,使f(x)的最小值为０, 令h(x)＝ax２＋２x＋３,则h(x)min＝１, ∴ a＞０ ３a－１ a ＝１{ ,解得a＝ １ ２． ∴存在实数a＝１２ ,使f(x)的最小值为０． １４．解:(１)当x＜０时,－x＞０,则f(－x)＝ log１２ (－x)． 因为函数f(x)是偶函数,所以f(－x)＝f(x)． 所以当x＜０时,f(x)＝log１２ (－x), 所以函数f(x)的解析式为f(x) ＝ log１２x,x＞０, ０,x＝０, log１２ (－x),x＜０． { (２)因为f(４)＝log１２４＝－２,f(x)是偶函数, 所以不等式f(x２－１)＞－２可化为f(|x２－１|) ＞f(４)． 又因为函数f(x)在(０,＋∞)上是减函数, 所以０＜|x２－１|＜４, 解得－ ５＜x＜ ５且x≠±１, 而当x２－１＝０时,f(０)＝０＞－２成立, 所以－ ５＜x＜ ５, 即不等式的解集为(－ ５,５)． §４　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 １．C　２．C　３．C　４．D ５．ABD　[结合指数函数y＝ １２( ) x 和对数函数y＝ log１２x的图象易得C正确,A,B,D错误．] ６．CD　[设该死亡生物体内原有的碳１４的含量为１,则 经过n 个“半 衰 期”后 的 含 量 为 １２( ) n ,由 １ ２( ) n ＜ １ １０００ ,得n≥１０．所以,若某死亡生物体内的碳１４用 该放射性探测器探测不到,则它至少需要经过１０个 “半衰期”．] ７．解析:设 经 过x 小 时 才 能 开 车．由 题 意 得 ０．３(１－ ２５％)x≤０．０９,所以 ３４( ) x ≤０．３,当x＝１,２,３,４时, ３ ４( ) x ＞０．３,而当x＝５时, ３４( ) x ＜０．３,所以x最小 应取５,即此人至少经过５小时才能开车． 答案:５ ８．解析:前３年,函数斜率逐渐增大,则(１)正确;第３年 后产量不变,则(４)正确． 答案:(１)(４) ９．解析:设 A(x１,y１),B(x２,y２),C(x３,y３),则y１＝ log２１６x１,y２＝log２１６x２,y３＝log２x３,x２＝x３． 因为△ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形 (其 中 A 为 直 角 顶 点),所以y２－y３＝log２１６＝４,y２＋y３＝２y１, 即log２１６x２－log２x３＝２(x２－x１), log２１６x２＋log２x３＝２log２１６x１, 化简可得x２－x１＝２,log２x２＝２＋log２x１, 解得x１＝ ２ ３ ,x２＝ ８ ３． 答案:２ ３　 ８ ３ １０．解:借助工具作出函数y＝３,y＝０．２x,y＝log５x,y＝ １．０２x 的图象(图略)．观察图象可知,在区间[５,１００] 上,y＝０．２x,y＝１．０２x 的图象都有一部分在直线 y＝３的上方,只有y＝log５x 的图象始终在y＝３和 y＝０．２x的下方,这说明只有按模型y＝log５x 进行 奖励才符合学校的要求． １１．解:设工业废气在未处理前为a,经过x 次处理后变 为y,则y＝a(１－２０％)x＝a(８０％)x．由题意得ya ＝５％, 即(８０％)x＝５％,两边同时取以１０为底的对数 得 xlg０．８＝lg０．０５,即x＝lg０．０５lg０．８≈１３．４． 因而至少需要１４次处理才能使工业废气中的有害 气体减少到原来的５％． １２．解:由题意,f(５)＝ae５n＝a２ ,∴e５n＝１２ , 又f(m＋５)＝ae(m＋５)n＝a４ , 即e(m＋５)n＝１４＝ (e５n)２＝e１０n, ∴(m＋５)n＝１０n, ∴m＝５． １３．解:(１)符合条件的是f(x)＝ax＋b, 若模型为f(x)＝２x＋a, 则由f(１)＝２１＋a＝４,得a＝２, 即f(x)＝２x＋２, 此时f(２)＝６,f(３)＝１０,f(４)＝１８,与已知相差太 大,不符合． 若模型为f(x)＝log１２x＋a, 则f(x)是减函数,与已知不符合． 由已知得 a＋b＝４, ３a＋b＝７,{ 解得 a＝３２ , b＝５２． ì î í ïï ï 所以f(x)＝３２x＋ ５ ２ ,x∈N． (２)２０２２年预计年产量为f(７)＝３２×７＋ ５ ２＝１３ , ２０２２年实际年产量为１３×(１－３０％)＝９．１． ２０２２年的年产量为９．１万件． １４．解:(１)由题意符合公司要求的函数f(x)在[３０００, ９０００]上为增函数, 且对 ∀x∈ [３０００,９０００],恒 有 f(x)≥１００ 且 f(x)≤x５． ①对于函 数 f(x)＝０．０３x＋８,当 x＝３０００ 时, f(３０００)＝９８＜１００,不符合要求; ②对于函数f(x)＝０．８x＋２００为 减 函 数