12.3.2 角的平分线的判定（第二课时）（教学课件，含动画演示）-【上好课】八年级数学上册同步高效课堂（人教版）

12.3 角的平分线的性质 12.3.2 角的平分线的判定 第十二章 全等三角形 人教版 八年级上册 1.理解角平分线的判定定理.(难点） 2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.（重点） 3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上. 学习目标 文字语言：角平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质 几何语言： ∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB. ∴PD=PE P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 针对练习 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 证明：经过点P作射线OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB , ∴∠PDO=∠PEO=90°, 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL) , ∴∠POD=∠POE即点P在∠AOB的平分线上. 文字语言：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ※角的平分线的判定 几何语言： ∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE， ∴点P 在∠AOB的平分线上.(或∠1=∠2) 【点睛】应用所具备的条件:(1) 位置关系：点在角的内部;(1)数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上. 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？ D O C 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ，D即为所求. 【点睛】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点. 如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等. 则：点P为所求. P 例1.已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE. 同理PE=PF. ∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 【归纳】三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 例2.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 【分析】由已知，O到三角形三边的距离相等， 所以O是三条角平分线的交点，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB， ∵∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∴∠OBC＋∠OCB＝70°， ∴∠BOC＝180°－70°＝110°. 例3.如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求证:BP为∠MBN的平分线. 证明:过P作PE⊥AC于E. ∵PA平分∠MAC，且PD⊥BM，PE⊥AC, ∴PD=PE, ∵PC平分∠NCA，且PF⊥BN，PE⊥AC, ∴PF=PE, ∴PD=PF, ∵PD⊥BM,PF⊥BN, ∴P在∠MBN的平分线上, 即BP为∠MBN的平分线. 如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等. 证明：过P点做PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥AB，垂足分别是F，G，H. ∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的外角的平分线 ∴PG=PH，PF=PG, ∴PF=PG=PH, 即点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等. 例4.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证:(1)AM平分∠DAB;(2)AD=AB+CD. 证明:(1)作MN⊥AD于N. ∵DM平分∠ADC，且MC⊥CD，MN⊥AD, ∴