13.1.2 线段垂直平分线的性质和判定（第一课时）（教学课件，含动画演示）-【上好课】八年级数学上册同步高效课堂（人教版）

13.1 轴对称 13.1.2 线段垂直平分线的性质和判定 第十三章 轴对称 人教版 八年级上册 1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．(重点） 2.会用尺规过一点作已知直线的垂线. 3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．（难点） 学习目标 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称. 一、轴对称图形 像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 二、两个图形关于这条直线(成轴)对称 三、垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. l⊥AB，垂足为O，且AO=BO，则l是线段AB的垂直平分线. 观察演示，动手操作:仔细观察折纸过程，回答问题. OP_________AB，PA____PB. 垂直平分 = 线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上.求证PA=PB. 证明：∵ l ⊥AB ∴ ∠PCA=∠PCB=90° 又∵ AC=BC，PC=PC ∴ △PCA≌△PCB (SAS) ∴ PA=PB 线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 几何符号语言： ∵ PC⊥AB，PC平分AB ∴ PA=PB 如图，用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出去的箭的方向与木棒垂直呢？为什么？ 如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 如图，线段AB，PA=PB. 求证：点P在AB的垂直平分线上. 证法1：过点P作线段AB的垂线PC. ∴ ∠PCA=∠PCB=90° 又∵ PA=PB，PC=PC ∴ Rt△PAC≌Rt△PBC (HL) ∴ AC=BC ∴ PC是线段AB的垂直平分线 ∴ 点P在AB的垂直平分线上 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 如图，线段AB，PA=PB. 求证：点P在AB的垂直平分线上. 证法2：取AB的中点C，过P，C作直线. ∴ AC=BC 又∵ PA=PB，PC=PC ∴ △PAC≌△PBC (SSS) ∴ ∠PCA=∠PCB=180°÷2=90° 即 PC⊥AB ∴ PC是线段AB的垂直平分线 ∴ 点P在AB的垂直平分线上 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线的判定： 几何符号语言： ∵ PA=PB ∴ 点P在AB的垂直平分线上 【性质】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 【判定】与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 从上面两个结论可以看出：在线段AB的垂直平分线 l 上的点与点A、B的距离都相等；反过来，与A、B的距离相等的点都在直线 l 上，所以直线 l 可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合. 例1.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：如图，直线AB和AB外一点C.  求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB两旁. (2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E. (3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F. (4)作直线CF. 则：直线CF就是所求作的垂线 ∵ CD=CE，FD=FE ∴ C、F都在DE的垂直平分线上 ∴ CF垂直平分DE ∴ CF⊥AB 例1.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：如图，直线AB和AB外一点C.  求作：AB的垂线，使它经过点C. 想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？ 例2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(　　) A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.17.5 cm C 【分析】∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35 cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD， 故BC＋AD＋CD＝35 cm. ∵AC＝AD＋DC＝20 cm， ∴BC＝35－20＝15(cm).故选C. 【点睛】利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为