第2章 圆与方程 金牌测试卷【中档题】-2022-2023学年高二数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019选择性必修第一册)

第2章 圆与方程 金牌测试卷【中档题】 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1．直线与圆相交，所得弦长为整数，这样的直线有（       ）条 A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【解析】 【分析】 求出过定点的直线与圆的最短弦长为，最长的弦长为直径10，则弦长为6的直线恰有1条，最长的弦长为直径10，也恰有1条，弦长为7，8，9的直线各有2条，即可求出答案. 【详解】 直线过定点，圆半径为5， 最短弦长为，恰有一条，但不是整数； 弦长为6的直线恰有1条，有1条斜率不存在，要舍去； 最长的弦长为直径10，也恰有1条； 弦长为7，8，9的直线各有2条，共有8条， 故选：C． 2．正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（       ） A．线段 B．直线 C．射线 D．圆 【答案】D 【解析】 【分析】 可以利用平面向量数量积的运算性质得，即，来确定动点C的轨迹；或者可以利用三角形的特点合理建系，结合向量的坐标运算，设动点C的坐标，利用已知条件计算轨迹方程，来确定C的轨迹. 【详解】 解：方法一：由题可知：， 又 所以，即 所以点C的轨迹是圆. 方法二：由题可知：， 如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系， 所以 设 ， 又 所以 整理得： 所以点C的轨迹是圆. 故选：D. 3．如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，），则|MQ|的最小值为（       ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用平面几何知识得点轨迹是圆，然后求出与圆心距离减去半径得最小值． 【详解】 解：过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°， 由圆与切线的平面几何性质知，∠APO＝60°，又|OA|＝2，则可得|OP|＝ 在直角中，，由得， ∴Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，方程为x2+y2＝3； |MQ|的最小值即为|OM|﹣r＝﹣＝． 故选：A． 4．已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可知直线过定点，且定点在圆C上或圆C内，即可求解 【详解】 由直线可化为，则直线l过定点， 因为直线l：与圆C：有公共点， 所以定点在圆C上或圆C内，可得，解得， 故选：B 5．已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 以为原点建立平面坐标系，设，，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解． 【详解】 设的起点均为，以为原点建立平面坐标系，如图所示， 不妨设，，则，， 由可得，即， ∴的终点在以为圆心，以为半径的圆上， 同理的终点在以为圆心，以为半径的圆上． 显然当，为圆的两条切线时，最大，即与的夹角最大． 设圆心为，则，∴，则， ∴， 设与轴交于点，由对称性可知轴，且， ∴， 即当与的夹角最大时， 故选：C 6．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆O的切PA、PB，切点为A、B.当四边形PAOB面积最小时，直线AB的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得当点P与圆心的距离最小时，切线长PA、PB最小，此时四边形PAOB的面积最小，求出P的坐标，再求出以OP为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立即可求得直线AB的方程. 【详解】 ∵的圆心为，半径， 当点P与圆心的距离最小时，切线长PA、PB最小，此时四边形PAOB的面积最小， ∴直线l，则PO的方程为， 联立，解得，∴， ∴以OP为直径的圆的方程为， 即，两圆方程相减可得， 故选：B. 7．设集合，，若中有且只有一个元素，则所有取值组成的集合为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据集合描述的几何意义，判断集合N表示的圆与集合M表示的半圆只有一个交点时的取值范围即可. 【详解】 如下图示，当集合N表示的圆与集合M表示的半圆相切，或集合N表示圆半径变大过程中与集合M表示的半圆只有一个交点时，中有且只有一个元素， 所以当它们相切，； 当集合N表示的圆过时恰好有两个交点，过时恰好有一个交点； 综上，时，中有且只有一个元素. 故选：C. 8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字