第2章 圆与方程 金牌测试卷【培优题】-2022-2023学年高二数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019选择性必修第一册)

第2章 圆与方程 金牌测试卷【培优题】 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1．已知平面向量满足，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先设，由设在直线上，由得，进而得出在以为圆心，1为半径的圆上，将的最小值转化为圆上点到直线上点距离的最小值即可求解. 【详解】 建立平面直角坐标系，设，由，不妨设， 又，不妨设在直线上，又可得，即， 则，设，则，则，即，则在以为圆心，1为半径的圆上； 又，则的最小值等价于的最小值，即以为圆心，1为半径的圆上一点 到直线上一点距离的最小值，即圆心到直线的距离减去半径，即，则的最小值是. 故选：D. 【点睛】 本题关键点在于建立坐标系后设，由得出在直线上，再由得在以为圆心，1为半径的圆上，进而转化为圆上点到直线上点距离的最小值求解即可. 2．已知 与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（       ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】 【分析】 建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得，进而由向量模的计算公式可得，分析可得在以为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】 根据题意，设，，， 以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴的正方向建立坐标系， 则，，设，则， 若，则有， 则在以为圆心，半径为2的圆上， 设为点，则，则有， 即， 则的取值范围为； 故选：D． 3．设集合①存在直线l，使得集合中不存在点在l上，而存在点在l两侧；②存在直线l，使得集合中存在无数点在l上：（       ） A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立 【答案】B 【解析】 【分析】 根据圆与圆的位置关系及直线与圆的位置关系一一判断即可； 【详解】 解：若①成立，则相邻两圆外离， 不妨设相邻两圆方程为，圆心为，半径， ，圆心为，半径， 则 当时， 即成立，所以结论①成立； 对于②，设直线的方程为，则圆心到直线的距离， 当时， 所以直线只能与有限个圆相交，所以结论②不成立； 故选：B 4．箕舌线因意大利著名的女数学家玛丽亚·阿涅西的深入研究而闻名于世．如图所示，过原点的动直线交定圆于点，交直线于点，过和分别作轴和轴的平行线交于点，则点的轨迹叫做箕舌线．记箕舌线函数为，设，下列说法正确的是（       ） A．是奇函数 B．点的横坐标为 C．点的纵坐标为 D．的值域是 【答案】C 【解析】 【分析】 连接，则，设点，联立直线和圆的方程，求出点的纵坐标，可得出函数的解析式，利用函数奇偶性的定义可判断A选项；求出函数的值域可判断D选项；求出点的横坐标与纵坐标，可判断BC选项. 【详解】 连接，则，圆的标准方程为， 该圆的直径为， 设点，当点不与点重合时，直线的方程为， 联立，解得， 当点与点重合时，点的坐标也满足方程，所以，， 对任意的，，即函数的定义域为， ，故函数为偶函数，A错； 当点在第一象限时，，因为，此时，B错； 当点不与点重合时，， 因为，则， 当点与点重合时，点也与点重合，此时，点的纵坐标也满足， 综上所述，点的纵坐标为，C对； 对于D选项，，所以，，D错. 故选：C. 5．在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 以为坐标原点建立平面直角坐标系，设边长为，由向量坐标运算可表示出点轨迹，利用两点间距离公式可得；当时，可求得；当时，令，根据的几何意义，利用直线与圆的位置关系可求得的范围，进而得到最小值；综合两种情况可得结果. 【详解】 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系， 不妨设正三角形的边长为，则，，， 设，则，， ，， ，即； 点轨迹为：， ； 当时，，； 当时，令，则表示与连线的斜率， 设直线与圆相切， 则圆心到直线距离，解得：或， ， 则当时，取得最小值，； 综上所述：最小值为. 故选：D. 6．已知过点的动直线l与圆C：交于A，B两点，过A，B分别作C的切线，两切线交于点N．若动点，则的最小值为（       ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】 【分析】 先判断出四点在以为直径的圆上，求出该圆方程，进而求得方程，由点在直线上得出点轨迹为，又在圆上，进而将的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，即可求解. 【详解】 易得圆心，半径为4，如图，连接，则，则四点在以为直径的圆上， 设，则该圆的圆心为，半径为，圆的方程为，又该圆和圆的交点弦即为， 故，整理得，又点在直线上， 故，即点轨迹为，又在圆上，故的最小值为 圆心到直线的距离减去半径1，即. 故选：B