专题17 一元二次函数、方程和不等式章末复习-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）

专题17 一元二次函数、方程和不等式章末复习 知识系统整合 1．比较数(式)的大小 依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b. 适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式． 步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论． 变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化． 2．利用基本不等式证明不等式 (1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立． (2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”． (3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式． 3．利用基本不等式求最值 (1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等． 即：①x，y都是正数． ②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)． ③x与y必须能够相等(等号能够取到)． (2)构造定值条件的常用技巧 ①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式． 4．解一元二次不等式的步骤 当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下： (1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解； (2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图； (3)由图象写出不等式的解集． 特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况． (2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a转变为－a再进行求解． 5．一元二次不等式的实际应用 不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤是： (1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题． (2)简化假设：精选问题中的关键变量． (3)列出关系式：建立变量间的不等关系式． (4)求解：运用数学知识解相应不等式． (5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题的答案． 考点一 不等式的性质 1．如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则以下列选项中不一定成立的是(　　) A．ab＞ac　　 B．c(b－a)＞0 C．cb2＜ab2 D．ac(a－c)＜0 [解析]c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0. 对于A：⇒ab＞ac，A正确． 对于B：⇒c·(b－a)＞0，B正确． 对于C：⇒cb2≤ab2cb2＜ab2，C错，即C不一定成立． 对于D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D正确，选C. 2．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是(　　) A．ab>ac B．ac>bc C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2 [解析]由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选A. 3．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________． [解析]∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a－b≤6. 考点二 基本不等式 类型一 常数代换法 1．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　) A. B. C．5 D．6 [解析]因为x＋3y＝5xy，＋＝5， 所以3x＋4y＝(3x＋4y)·＝＋≥×2×＋＝5. 当且仅当＝，即x＝1，y＝时等号成立，所以3x＋4y的最小值是5. 2．已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为(　　) A．5 B. C. D．2 [解析]因为x＋y＝1，所以x＋(1＋y)＝2， 则2＝[x＋(1＋y)]＝＋＋5≥2＋5＝9，所以＋≥， 当且仅当即时，等号成立，因此＋的最小值为.故选C. 类型二 消元法 1．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为________． [解析]解法一：由x－2y＋3z＝0，得y＝，故＝＝≥＝3， 当且仅当x＝y＝3z时取等号，即的最小值为3. 解法二：由x－2y＋3z＝0，得x＝2y－3z，＝2－＞0. ＝＝≥＝3.当且仅当x＝y＝3z时取等号，即的最小值为3. 类型三 配凑法 1．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则2x＋y的最小值是________． [解析]解法一：∵x>0，y>0，∴xy＝·(2x)·y≤·2， ∴2x＋y＋6＝(2