2.7.1 抛物线的标准方程-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)

第二章 平面解析几何 2.7抛物线及其方程 2.7.1 抛物线的标准方程 知识梳理 1.抛物线的定义： 抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（其中定点F不在定直线l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 抛物线的数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离). 2.抛物线的标准方程： 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形与方程 标准方程 焦点 准线 常见考点 考点一 抛物线定义及辨析 典例1．到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（       ） A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义判断即可 【详解】 动点到定点的距离与到定直线：的距离相等， 所以的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 故选：C． 变式1-1．若动点与定点和直线的距离相等，则动点的轨迹是 A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 【答案】D 【解析】 【详解】 试题分析：因为定点F（1，1）在直线上，所以到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点A与直线，垂直的直线．故选D． 考点：1．抛物线的定义；2．轨迹方程． 变式1-2．若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹为（       ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【解析】 题设条件等价于点到直线的距离等于它到点的距离,满足抛物线定义. 【详解】 因为点到直线的距离比它到点的距离小, 所以点到直线的距离等于它到点的距离, ∴点的轨迹为抛物线, 故选:C. 【点睛】 本题考查抛物线的基本定义,考查轨迹思想,属于简单题. 变式1-3．若点满足，则动点M的轨迹是（       ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义即可得出选项. 【详解】 依题意，动点M到点的距离等于其到定直线的距离， 且点不在直线上，因此动点M的轨迹是抛物线. 故选：D 【点睛】 本题考查了抛物线的定义，理解定义是关键，属于基础题. 考点二 求抛物线的焦点与准线方程 典例2．抛物线的焦点坐标是（       ） A．（0，－1） B．（－1，0） C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线标准方程，可得p的值，进而求出焦点坐标. 【详解】 由抛物线可知其开口向下，，所以焦点坐标为， 故选：C. 变式2-1．已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为（1，0），则p=（       ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【解析】 【分析】 根据抛物线的焦点坐标求得的值. 【详解】 由于抛物线的焦点为， 所以. 故选：A 变式2-2．抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据点求得，由此求得抛物线的准线. 【详解】 由于抛物线：过点， 所以， 所以抛物线方程为， 所以抛物线的直线方程为. 故选：A 变式2-3．抛物线的准线方程是，则实数a的值（       ） A． B． C．8 D．-8 【答案】A 【解析】 【分析】 根据准线方程列出方程，求出实数a的值. 【详解】 由题意得：，解得：. 故选：A 考点三 抛物线上点到焦点的距离及最值 典例3．抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据抛物线的方程可得准线方程，利用抛物线的定义计算即可. 【详解】 由题意知， 抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义，得． 故选：B 变式3-1．设抛物线上一点到轴的距离是则点到该抛物线焦点的距离是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由，可得，结合题意可求得点的横坐标，利用抛物线的定义可求得结果. 【详解】 由，可得，据已知抛物线方程可得其准线方程为， 又由点到轴的距离为，可得点的横坐标. 由抛物线定义可知点到焦点的距离等于其到准线的距离，即. 故选：C. 变式3-2．若抛物线上的点到焦点的最短距离为1，则p的值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义结合题意可得，即可的解. 【详解】 解：有抛物线的定义可知， 抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离， 则最短距离为，所以. 故选：C. 变式3-3．若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值为（       ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线上所有点中，顶点到焦点的距离最小即可解出． 【详解】 由，得，∴，则，所以焦点，由抛物线上