考点5-2 向量基底、模与数量积-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）

考点5-2 向量基底、模与数量积 1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】 连结，则为的中位线， ， 故选：A 2．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】 解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D               3．（2022·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（       ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】 根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】 解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 4.（2022·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 【答案】 【分析】 设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】 解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． 5．（2021·全国·高考真题）已知向量，，，_______． 【答案】 【分析】 由已知可得，展开化简后可得结果. 【详解】 由已知可得， 因此，. 故答案为：. 6．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））设向量，夹角的余弦值为，且，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据向量的数量积公式及向量的数量积的运算律即可求解. 【详解】 因为向量，夹角的余弦值为，且，， 所以. 所以． 故选：B. 7．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（       ） A．－ B． C．－6 D．6 【答案】C 【分析】 根据向量共线定理，列方程求即可. 【详解】 因为A，B，C三点共线， 所以，共线，又是平面内两个不共线向量， 所以可设，因为，， 所以， 所以， 所以， 故选：C. 8．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形中，设，，为的中点，与交于，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据题意得，再分析求解即可. 【详解】 如下图所示，连接与交于，则为的中点，因为为的中点， 所以为三角形的重心，所以. 故选：B. 9.（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC的面积为S满足，且，与的夹角为θ.则与夹角的取值范围_________． 【答案】. 【分析】 由题，结合面积公式，向量点乘定义，可得，进一步讨论θ的取值范围即可 【详解】 由题，，∴， ，，θ为锐角， ∵，即，又， ∴，即，∴， ， 故答案为： 10．（2022·上海·模拟预测）若，且满足，则___________. 【答案】## 【分析】 设，利用数量积定义求出，即可求出. 【详解】 因为，所以，设. 由可得：， 两式相除得：. 又，且 解得：. 因为，所以，解得：. 故答案为：. 11.（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设与夹角为，与所成夹角为，利用平面向量的数量积可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范围，即可得解. 【详解】 设与夹角为，与所成夹角为， ， 所以，，① ，② 又，③ ②与③联立可得，④ ①④联立可得， 当且仅当时，取等号，，，则， 故与所成夹角的最大值是， 故选：A. 【点睛】 方法点睛：求平面向量夹角的方法： （1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是； （2）坐标法：若非零向量、，则. 12．（2023·全国·高三专题练习）已知 与为单位向量，且⊥，向量满足，则||的可能取值有（       ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】 建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得，进而由向量模的计算公式可得，分析可得在以为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】 根据题意，设，，， 以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴的正方向建立坐标系， 则，，设，则， 若，则有， 则在以为圆心，半径为2的圆上， 设为点，则，则有， 即， 则的取值范围为； 故选：D． 13．（2023·全国·高三专题练习）中，，O是外接圆圆心，是