2022年清华大学强基校测数学试题

2022 年清华大学强基计划测试数学试题 考试时间 2022 年 6 月 28 日 1. , 求 2. , 求 的最大值 3. 已知复数 满足 , 求 的最大值 4. 在复平面内, 复数 终点在 和 表示两点连成的线段上移动, , 若 在复平面上表示的点围成的面积为 , 则 的可能值为（） 5. 已知一个空间几何体三视图如下, 都为中点最大边长为 2 , 求这个几何体可能的体积 A. B. C.3 D. 4 6. 对于 满足 , 且对于 , 恒有 , 则 . 7. 用蓝色和红色给一排 10 个方格染色, 则不超过 (忘记是不超过还是不少于) 三个相邻块 颜色相同的方法种数为 A. 504 B. 505 C.506 D.507 8. 对于三个正整数 , 有 为三个连续正整数, 则 最小值为 . 9. 已知 , 求 的最大值和最小值 . 10. . 11. 曲线 A. 曲线 仅过 一个整点 B. 曲线 上的点距原点最大距离为 2 C.曲线 围成的图形面积大于 D. 曲线 为轴对称图形 12. 任意四边形 , 则 （用 表示) 13. 已知 , 则 . 2022 年清华大学强基计划校测数学试题答案 1. 若 , 求 【解析】新定义题型 由于变量的任意性, 不妨带入 即 再代入 即 由 知 因此, . 2. , 求 的最大值. 【解析】不等式问题 袁逸凡解答 对于 , 其取等条件为 异号或至少其中一个为 0 , 不妨设 , 则, 同理可得 当以上不等式都取等时, 则有 令 , 于是有 因为 , 所以有 因此, 的最大值为 4 . 当 时取等. 3. 已知复数 , 求 的最大值. 【解析】复数的性质 已知 , 则 设 令 , 则 当且仅当 时取等; 4. 在复平面内, 复数 终点在 和 表示两点连成的线段上移动, , 若 在复平面上表示的点围成的面积为 , 则 的可能值为 . 【解析】复数的轨迹 设 , 则 因此有 如下图所示, 则 在复平面上围成的面积即为粉色区域, 即 解得 . 同理当 时, 则有 . 6. 对于 满足 , 对于 , 恒 有 , 则 . 【解析】复合函数的性质 由条件知: 设 , 则 , 于是有 当 时, 则有 , 且 因此 . 7. 用蓝色和红色给一排 10 个方格涂色, 则至多 2 个蓝色相邻的方法数为__504_. 【解析】揷空法+㨄郁法 8. 对于三个正整数 , 有 三个连续正整数, 则 的最小值为 . 【解析】数论 不妨设 , 令 , 易解得 , 且 9. 已知 , 求 的最大值和最小值 【解析】不等式 10. 【解析】定积分放缩求极限, 单调有界性准侧 利用定积分定义求和式的极限公式 11. 曲线 , 则 A. 曲线 仅过 一个整点 B. 曲线 上的点距原点最大距离为 2 C. 曲线 围成的图形面积大于 D. 曲线 为轴对称图形 【解析】四叶玫瑰线 设曲线 , 则 , D 正确; , 解得 故 B 正确, C 错误; 联立 得到两曲线交点均不为整数, 且 , 因此曲线 仅过 一个整点. 12.任意四边形 , 则 . 结果用 表示. 【解析】向量的回路恒等式 证明: 记卜方法: 因此: 或者 13. 已知 , 则 答案: 解: 由题意可知 联立上述两式可得 此时 将(1)代入(2)可得 学科网（北京）股份有限公司 $