第五章 章末综合提升（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】同步导学（人教A版2019）

章末综合提升 素养一　数学抽象 数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征．本章中三角函数定义体现学科素养中的数学抽象． 题型一　任意角三角函数的定义 1．已知角α的始边是x轴的正半轴，终边经过点(－3，y)，且sin α＝，则tan α＝(　　) A．－ B．－ C． D． A　[角α的始边是x轴的正半轴，终边经过点(－3，y)，且sin α＝＝，得y＝4，则tan α＝＝－，故选A．] 2．(2021·上海卷)已知θ>0.存在实数φ，使得对任意n∈N*，cos (nθ＋φ)<，则θ的最小值是________． 解析：　 作出单位圆如图所示，由题意，nθ＋φ的终边要落在图中阴影部分区域(其中∠AOx＝∠BOx＝)，∴[(n＋1)θ＋φ]－(nθ＋φ)＝θ>∠AOB＝，由于cos (nθ＋φ)<对任意n∈N*都成立， ∴∈N*，即θ＝，k∈N*，又θ>，∴θ的最小值为. 答案：　 素养二　数学运算 数学运算能促进学生有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，本章中，通过三角函数求值问题进一步培养提升学生的数学运算核心素养． 题型二　三角函数的求值 3．(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝(　　) A．　　　　B． C．　　　　D． D　[因为cos＝sin (－)＝sin ， 所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos(2×)＝cos ＝.故选D．] 4．(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－　　　　B．－ C．　　　　D． C　[因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝ ＝＝＝.故选C．] 5．已知cosα＝－，且<α<π. (1)求5sin(π＋α)－4tan(3π－α)的值； (2)若0<β<，cos (β－α)＝， 求sin 的值． 解析：　∵cos α＝－，<α<π， ∴sin α＝＝＝， ∴tan α＝＝＝－. (1)5sin(π＋α)－4tan(3π－α)＝－5sin α＋4tan α＝(－5)×＋4×＝－6； (2)∵0<β<，<α<π， ∴－π<β－α<0， 又∵cos (β－α)＝， ∴sin (β－α)＝－＝－＝－， ∴cos β＝cos [(β－α)＋α]＝cos (β－α)cos α－sin (β－α)sin α＝×－×＝， ∴sin ＝cos 2β＝2cos2β－1＝2×－1＝－. 素养三　直观想象 直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础．在本章中直观想象主要体现在三角函数图象的识别与应用中． 题型三　三角函数的图象 6．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f()＝________． 解析：　法一(五点作图法)由题图可知T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f(x)＝2cos (2x＋φ).点(，0)可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－， 即f(x)＝2cos (2x－). 所以f()＝2cos (2×－)＝－. 法二(代点法)由题意知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期).所以T＝π，＝π，即ω＝2.又点(，0)在函数f(x)的图象上，所以2cos (2×＋φ)＝0，所以2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，令k＝0，则φ＝－，所以f(x)＝2cos (2x－)，所以f()＝2cos (2×－)＝－2cos ＝－. 答案：　－ 7．(多选)已知函数f(x)＝sin 的定义域为[m，n](m<n)，值域为，则n－m的值不可能是(　　) A． B． C． D． CD　[作出函数f(x)的图象如图所示，在一个周期内考虑问题，易得或所以n－m的值可能为区间内的任意实数．故选CD．] 素养四　逻辑推理 借助逻辑推理，学会有逻辑地思考问题；发现和提出数学命题；探索和表述论证过程；能够在比较复杂的情境中把握事物理解事物命题之间的关联，把握事物发展的脉络，把握知识结构；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力．在本章中，逻辑推理体现在三角函数的图象及性质，三角函数式的化简与证明等问题中． 题型四　三角函数式的化简与证明 8．求值：. 解析：　原式 ＝ ＝ ＝ ＝＝2. 9．求证：tan2x＋＝. 证明：　左边＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝ ＝＝＝右边．原式得证． 题型五　三角函数图象变换 10．(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍