第1章 章末综合提升（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】同步导学（湘教版2019）

章末综合提升 素养一　数学抽象 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养．在本章中，主要表现在理解集合，全称命题及特称命题的概念． 题型一　集合的概念 (1)(2021·宜春市质量检测)设集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤1，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：　(1)因为x∈Z，所以当x＝0时，由|x|＋|y|≤1，y∈Z可得：y＝0，±1； 当x＝1时，由|x|＋|y|≤1，y∈Z可得：y＝0； 当x＝－1时，由|x|＋|y|≤1，y∈Z可得：y＝0； 当x∈Z，|x|>1时，由|x|＋|y|≤1，y∈Z可知：不存在整数y使该不等式成立， 所以A＝{(0，0)，(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(－1，0)}， 因此A中元素的个数为5． 故选C． (2)这两个方程的实数解分别是2，－4和－4，3，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素． 答案：　(1)C　(2)C 题型二　全称命题与特称命题 (1)(多选)下列特称命题中，是真命题的是(　　) A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．∃x∈R，|x|<0 D．有些自然数是偶数 (2)若命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．m≥1 B．m>1 C．m<1 D．m≤1 解析：　(1)A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选ABD． (2)命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题， 则m≠－(x2－2x)， ∵－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1， ∴m>1， ∴实数m的取值范围是{m|m>1}． 故选B． 答案：　(1)ABD　(2)B 题型三　与集合有关的新定义问题 (1)定义集合A与B的运算：A⊙B＝{x|x∈A或x∈B，且x∉A∩B}．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6，7}，则(A⊙B)⊙B为(　　) A．{1，2，3，4，5，6，7} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{3，4，5，6，7} (2)(多选)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z，k＝0，1，2，3，4}．则以下结论正确的是(　　) A．2 021∈[1] B．－3∈[3] C．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] D．若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]，反之也成立 解析：　(1)方法一　利用Venn图，知(A⊙B)⊙B为图中阴影部分，即{1，2，3，4}． 方法二　直接由新定义的运算分步计算． 由新定义，得A⊙B＝{1，2，5，6，7}，则(A⊙B)⊙B＝{1，2，5，6，7}⊙{3，4，5，6，7}＝{1，2，3，4}． (2)[k]表示被5除所得余数为k的所有整数． ∵2 021÷5＝404……1，∴2 021∈[1]，故A正确． ∵－3÷5＝－1……2，∴－3∈[2]，故B不正确． ∵整数集中的数被5除可以且只可以分成五类， ∴Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故C正确． ∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除所得余数相同， ∴a－b被5除所得余数为0，∴a－b∈[0]；反之也成立，故D正确． 答案：　(1)B　(2)ACD 素养二　数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．在本章中，主要表现在集合的交、并、补运算中． 题型四　集合的运算 (1)(2020·全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{－2，3} B．{－2，2，3} C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3} (2)已知全集U＝R，A＝{x|－1<x<1}，B＝{y|y>0}，则A∩(∁UB)等于(　　) A．(－1，0) B．(－1，0] C．(0，1) D．[0，1) 解析：　(1)因为A∪B＝{－1，0，1，2}， 所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A． (2)因为B＝{y|y>0}， 全集U＝R， 所以∁UB＝{y|y≤0}， 则A∩(∁UB)＝{x|－1<x≤0}＝(－1，0]． 故选B． 答案：　(1)A　(2)B 素养三　逻辑推理