1.2.2 充分条件和必要条件（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】同步导学（湘教版2019）

1．2　常用逻辑用语 1．2．1　命题 1．2．2　充分条件和必要条件 [课标解读]　1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 知识点一　命题 1．对于某些语句可以作出判断，这种判断可能成立，也可能不成立，两者必居其一且仅居其一的陈述句叫作命题，成立的命题叫作真命题，不成立的命题叫作假命题． 2．如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p的否定，记作¬p，读作“非p”． 3．命题都具有“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论． 当命题“若p，则q”为真，则记作p⇒q， 读作“p推出q”． 当命题“若p，则q”为假，则记作p⇏q， 读作“p推不出q”． 命题条件和结论互换了位置，这时称一个是另一个的逆命题． [点拨]　因为p与¬p一真一假，即p与¬p真假相对，故判断它们的真假时，可只判断一者的真假，便知另一者的真假． 知识点二　充分条件与必要条件 1．定义 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2．本质：当命题p⇒q是真命题时，条件p与结论q之间的逻辑称谓． [点拨]　对充分条件与必要条件的理解 (1)p是q的充分条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q．一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论是不唯一的． (2)q是p的必要条件或p的必要条件是q． 显然，“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同． 知识点三　充要条件 1．定义 命题真假 “若p，则q”和它的逆命题都是真命题 推出关系 既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q 条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件 名称 p是q的充分必要条件，简称为充要条件 2．本质：当原命题、逆命题都是真命题时，命题的条件和结论互为充要条件，是等价的． [点拨]　对充要条件的理解 (1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”． (2)要判断p是否为q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形相似是三角形全等的必要条件．(　　 ) (2)“xy>0”是“x，y都大于0”成立的充分条件．(　　 ) (3)已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的充要条件．(　　 ) (4)x＝0的充分条件是(2x－1)x＝0．(　　 ) 答案：　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知命题p：x>1；q：x>2，则p是q的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分又不必要条件 D．以上答案均不正确 B　[由x>1推不出x>2，所以p不是q的充分条件；由x>2能推出x>1，所以p是q的必要条件．故选B．] 3．在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　　) A．四边形是平行四边形且对角线相等 B．四边形两组对边相等 C．四边形的对角线互相平分 D．四边形的对角线垂直 A　[因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以“四边形是平行四边形且对角线相等”是“四边形是矩形”的充分条件．] 4．已知集合A＝{2，a}，B＝{2，3，4}，则A⊆B的充要条件是 ． 解析：　若A⊆B，则a＝3或4；若a＝3或4，则A＝{2，3}或A＝{2，4}，所以A⊆B，所以A⊆B的充要条件是“a＝3或4”． 答案：　3或4 探究点一　判断命题的真假 判断下列命题的真假，并说明理由． (1)如果学好了数学，那么就会使用电脑； (2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0； (3)正方形既是矩形又是菱形； (4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数． 解析：　(1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，无法推出结论，故为假命题． (2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0． (3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形． (4)是真命题， 令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)， 则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1， 显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数， 故ab是奇数． 判断命题真假的策略 (1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实