1.1.2 子集和补集（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】同步导学（湘教版2019）

1．1．2　子集和补集 [课标解读]　1．在具体情境中，了解空集与全集的含义．2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．3．能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用．4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集． 知识点一　集合间的基本关系 1．包含 如果集合A的每个元素都是集合B的元素，就说A包含于B，或者说B包含A，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 2．子集 若A包含于B，则称A是B的一个子集． 3．集合相等 如果A⊆B并且B⊆A，就说两个集合相等，记作A＝B． 4．真子集 如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集，记作AB，读作“A真包含于B”． 5．韦恩图 如图，大圆和小圆分别表示两个集合；小圆画在大圆里，表示前者是后者的真子集．这类表示集合间关系的示意图叫作韦恩图． 规定：空集包含于任一集合，是任一集合的子集． [点拨]　(1)“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B． (2)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A． (3)对于集合A，B，子集、真子集与集合相等的关系如下：A⊆B⇒A＝B或AB．即子集包含真子集和集合相等两种情况． 知识点二　补集 1．全集 如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的元素和子集，就可以约定把集合U叫作全集(或基本集)． 2．补集 [点拨]　(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U； ③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．(　　 ) (2)任何一个集合都有子集．(　　 ) (3)空集是任何集合的真子集．(　　 ) (4)数集问题的全集一定是R．(　　 ) (5)一个集合的补集中一定含有元素．(　　 ) 答案：　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× 2．已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则(　　) A．P∈Q B．P⊆Q C．Q⊆P D．Q∈P C　[集合Q中的元素存在集合P中，所以Q⊆P．] 3．集合{0，1}的子集有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D　[根据题意，集合{0，1}的子集有{0}，{1}，{0，1}，∅，共4个，故选D．] 4．若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA＝ ． 解析：　借助数轴易得∁UA＝{x∈R|0<x≤2}． 答案：　{x∈R|0<x≤2} 探究点一　集合间关系的判断 指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)C＝{x|x是等边三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}； (3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}． 解析：　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故CD． (3)方法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM． 方法二：由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，所以NM． 判断集合间关系的常用方法 即时练1．已知集合A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是(　　) A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆C C．AB⊆C D．A＝B⊆C B　[集合A，B，C之间的关系用Venn图表示，如图． 所以B⊆A⊆C，故选B．] 探究点二　集合的子集、真子集 已知集合M＝{x|x<2且x∈N}，N＝{x|－2<x<2且x∈Z}． (1)写出集合M的子集、真子集； (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数． 解析：　M＝{x|x<2且x∈N}＝{0，1}，N＝{x|－2<x<2，且x∈Z}＝{－1，0，1}． (1)M的子集为：∅，{0}，{1}，{0，1}；其中真子集为：∅，{0}，{1}． (2)N的子集为：∅，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{