1.5.1 全称量词与存在量词（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】同步导学（人教A版2019）

1.5　全称量词与存在量词 1．5.1　全称量词与存在量词 [学习目标]　1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 知识点一　全称量词与全称量词命题 　[实例]　观察下面的两个语句， P：x≤3； Q：对所有的x∈R，x≤3. [问题导引]　上述两个语句都是命题吗？两者之间有什么关系？ 提示：　语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q的一部分． 全称量词与全称量词命题 全称量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词 符号 表示 ∀ 全称量词命题 定义 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 一般 形式 对M中任意一个x，p(x)成立 符号 表示 ∀x∈M，p(x) [点拨]　(1)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． (2)全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来． 下列命题是否为全称量词命题？若是，请指出全称量词，并判断其真假． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)∀x∈R，x2>0； (3)矩形的对角线相等． 解析：　(1)是，省略了全称量词“任意一个”，真命题． (2)是，有全称量词“∀”，假命题． (3)是，省略了全称量词“任意一个”，真命题． (1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可．　　 即时练1.下列语句既是命题又是全称量词命题的是________． (1)对任意实数x，x2＋1≥2； (2)有一个实数a，a不能取对数． 解析：　(1)(2)是命题，其中(1)中含有全称量词，所以是全称量词命题． 答案：　(1) 即时练2.将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为________________． 解析：　命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意xy∈R，都有x2＋y2≥2xy成立． 答案：　对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立 知识点二　存在量词与存在量词命题 [实例]　观察下面的两个语句： (1)存在一个x∈R，使3x＋1＝5； (2)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除． [问题导引1]　上述两个语句是命题吗？若是命题，判断其真假． 提示：　是，都为真命题． [问题导引2]　你还能写出一些与上述两个语句具有相同意义的词语吗？ 提示：　某些，有的，有些． 存在量词与存在量词命题 存在 量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词 符号表示 ∃ 存在量 词命题 定义 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 一般 形式 存在M中的元素x，p(x)成立 符号表示 ∃x∈M，p(x) [点拨]　(1)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． (2)存在量词命题含有存在量词，有些存在量词命题中的存在量词是省略的，理解时需要把它补充出来． (链接教材P28例2)指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假． (1)有的集合中存在两个相同的元素． (2)∀a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3. (3)存在一个x∈R，使＝0. (4)对任意直角三角形的两个锐角A，B，都有sin A＝cos B． 解析：　(1)是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题是假命题． (2)是全称量词命题，∀a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3是真命题． (3)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． (4)是全称量词命题，根据锐角三角函数的定义可知，对任意直角三角形的两个锐角A，B，都有sin A＝cos B，是真命题． 全称量词命题与存在量词命题的辨析及其真假的判断 即时练3.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为____________． 解析：　“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述． 答案：　∃x<0，使得(1＋x)(1－9x)>0 依据含量词命题的真假求参数的取值范围(值) 已知命题p：∃x∈R，x2＋x＋2－a<0为真命题，求实数a的取值范围． 解析：　因为