课时达标8 函数的奇偶性与周期性（word练习）-【状元桥】2023高考数学一轮总复习(新教材 新高考)

课时达标(八) 1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ B．y＝|x|－1 C．y＝lg x D．y＝|x| 答案　B 解析　y＝为奇函数；y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；y＝|x|在(0，＋∞)上为减函数；y＝|x|－1在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数．故选B项． 2．(2022·吉林调研)若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f(8)的值为(　　) A．1 B．2 C．0 D．－1 答案　C 解析　根据题意得f(0)＝0，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4.所以f(8)＝f(0)＝0.故选C项． 3．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)(　　) A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数 B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数 D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数 答案　B 解析　由f(x)＝f(2－x)得f(x)的图象关于直线x＝1对称．又f(x)是偶函数，故函数f(x)的周期是2，所以f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．故选B项． 4．(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x) C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x 答案　BD 解析　由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．故选BD项． 5．(多选)若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则(　　) A．f(2)>f(3) B．f(2)＝f(6) C．f(3)＝f(5) D．f(3)>f(6) 答案　BCD 解析　因为y＝f(x＋4)为偶函数，所以f(－x＋4)＝f(x＋4)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5)又y＝f(x)在(4，＋∞)上单调递减，所以f(5)>f(6)，所以f(3)>f(6)．故选BCD项． 6．(2022·湖南长沙联考)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝________. 解析 由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数f(x)＝Asin ωx(A≠0，ω>0)，满足f(－x)＝－sin ωx＝－f(x)，即是奇函数；根据最小正周期T＝＝2，可得ω＝π.故函数可以是f(x)＝Asin πx(A≠0)中任一个，可取f(x)＝sin πx. 答案 sin πx 7．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为________. 解析 因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1. 答案 (1，＋∞) 8．设函数f(x)＝＋1在x∈[－9,9]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________. 解析 f(x)＝＋1，其中上奇下偶明显是奇函数，最大值、最小值之和为零，那么f(x)的最大值与最小值之和就是2×1＝2. 答案 2 9．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式． 解析 (1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． 所以f(x)是周期为4的周期函数． (2)因为x∈，所以－x∈， 所以4－x∈，所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.因为f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8.所以当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8. 10．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明结论． 解析 (1