3.1.1 函数及其表示方法-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第一册)

3.1.1 函数及其表示方法 1、函数的定义：设A，B是两个非空数集， 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A 【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。 （1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：A→B 2、函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域． （3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3、同一个函数 两个函数定义域相同，对应关系相同，则称为同一个函数。 二、区间及相关概念 1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 三、求函数的定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. 3、零次幂的底数不能为零，即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示不能用“或”连接，用并集符号“∪”连接。 四、分段函数 1．定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．性质：（1）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集； 各段函数的定义域的交集是空集． （2）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 五、求函数解析式的方法： 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出 5、赋值法：根据抽象函数的解析式的特征，进行对变量赋特殊值. 题型一 函数关系的判断 【例1】下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】B中，当时，有两个值和对应，不满足函数y的唯一性， A，C，D满足函数的定义，故选：B 【变式1-1】如图，可以表示函数的图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应， 只有D满足要求，故选：D 【变式1-2】下列对应中： （1），其中，； （2），其中，，； （3），其中y为不大于x的最大整数，，； （4），其中，，. 其中，是函数的是（ ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 【答案】B 【解析】（1），其中，； 满足函数的定义，（1）正确； （2），其中，，， 不满足一个自变量有唯一一个实数y与之对应， 例如当时，；不满足函数的定义，（2）不正确； （3），其中y为不大于x的最大整数，，；满足函数的定义，③正确； （4），其中，，， 当时，对应的，（4）不正确．故选：B 【变式1-3】下列变量与的关系式中，不能构成是的函数关系的是（ ） A．