课时达标10 函数的奇偶性与周期性（word练习）-【状元桥】2023高考数学(理科)一轮总复习(老教材 新高考)

课时达标(十) 1．(2021·上海)下列函数中，既是奇函数又是减函数的是(　　) A．y＝－3x B．y＝x3 C．y＝log3x D．y＝3x 答案　A 解析 　y＝－3x为奇函数，且是R上的减函数，故A项正确；y＝x3，y＝log3x，y＝3x均是增函数，故B，C，D项都不正确．故选A项． 2．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 答案　C 解析 　用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1.故选C项． 3．(2022·江西九江月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－3) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 答案　D 解析 　因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1.故选D项． 4．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2 025)的值为(　　) A．－2 B．－1 C．2 D．0 答案　D 解析 　当x＞0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)　①，当x＞1时，f(x－1)＝f(x－2)－f(x－3)　②，两式相加可得f(x)＝－f(x－3)，所以f(x＋3)＝－f(x)，f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，因此当x＞1时，f(x)是以6为周期的周期函数．由2 025＝6×337＋3可知f(2 025)＝f(3)＝－f(0)＝－log21＝0.故选D项． 5．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________. 解析 令H(x)＝f(x)＋x2，则H(－1)＋H(1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，所以f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1. 答案　－1 6．设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则f＝________. 解析 依题意得f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，则f＝ f＝f＝＋1＝. 答案　 7．(2022·山东济南练习)写出一个同时具有下列性质①②③的函数：f(x)＝________. ①f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②f(x)的值域为R；③f(x)为偶函数． 解析 因为函数f(x)＝ln|x|＝为偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，且值域为R，满足题中条件，所以可填f(x)＝ln|x|. 答案　ln|x|(答案不唯一) 8．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式． 解析 (1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． 所以f(x)是周期为4的周期函数． (2)因为x∈[2,4]，所以－x∈[－4，－2]， 所以4－x∈[0,2]， 所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8. 因为f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)， 所以－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8. 所以当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8. 9．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x. (1)判定f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的解析式． 解析 (1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)． 又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)． 又f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数． (2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则f(x)＝f(－x)＝x； 当x∈[1,2]时，x－2∈[－1,0]， 则f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2. 故f(x)＝ 10．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________. 解析 根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝. 答案　 11．(2022·河南漯河月考)若函数f(x－2)为奇函数，f(－2)＝0，且f(x)在区