专题21 与二次函数有关的压轴题-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（全国通用）

专题21 与二次函数有关的压轴题 一、单选题 1．（2022·四川凉山）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（       ） A．a＞0 B．a＋b＝3 C．抛物线经过点（－1，0） D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论． 【详解】 解：A、根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧可知，该说法正确，故该选项不符合题意； B、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知，解得，该说法正确，故该选项不符合题意； C、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0），对称轴在y轴的左侧，则抛物线不经过（－1，0），该说法错误，故该选项符合题意； D、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1根的情况，可以转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≤0）与直线的交点情况，根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），，结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≤0）与直线的有两个不同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查二次函数的图像与性质，涉及到开口方向的判定、二次函数系数之间的关系、方程的根与函数图像交点的关系等知识点，根据题中条件得到抛物线草图是解决问题的关键． 2．（2022·四川成都）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（       ） A． B．当时，的值随值的增大而增大 C．点的坐标为 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可． 【详解】 解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意； B、根据图像开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意； C、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意； D、根据可知，当时，，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与轴交点得到是解决问题的关键． 3．（2021·山东济南）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，当时，的图象向下平移4个单位，当时，，的图象关于轴对称，据此即可求得其限变点的纵坐标的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到的取值范围 【详解】 点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的图像即为图中虚线部分，如图， 当时，的图象向下平移4个单位，当时，的图象关于轴对称， 从图可知函数的最大值是当时，取得最大值3， 最小值是当时，取得最小值， ． 故选D． 【点睛】 本题考查了新定义，二次函数的最值问题，分段讨论函数的最值，可以通过函数图像辅助求解，理解新定义，画出函数图像是解题的关键． 4．（2021·辽宁盘锦）如图，四边形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，线段BD沿射线AD方向平移，平移后的线段记为PQ，射线PQ与射线AC交于点M，连结PC，设OM长为，△PMC面积为．下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由四边形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，可求出AC、AO、OC的长，再设OM＝x，利用解直角三角形表示出PM，分点M在线段OC上（不含点O）时和当点在线段OC延长线上时两种情况分别表示出y再结合函数图象即可判断出正确答案． 【详解】 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC＝2，∠BAD＝180°−∠ABC＝120°， ∴∠DAO＝∠BAD＝60°， ∴△DAC是等边三角形， ∴AD＝AC＝2， ∴AO＝CO＝AC＝1， 设OM＝x， ∵AC⊥BD，PQ为BD平移而来， ∴∠AOD＝∠AMP＝90°， ∴△AMP为直角三角形， ∴PM＝AM•tan∠PAM＝（1＋x）， ①当点M在线段OC上（不含点O）时， 即0≤x＜1，此时CM＝1−x， 则y＝（1−x）×（1＋x）＝−， ∴0≤x＜1，函数图象开口应朝下， 故B、C不符合题意， ②当点在线段OC延长线上时，即x＞