2.2.4 均值不等式及其应用-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第一册)

2.2.4 均值不等式及其应用 一、均值不等式 1、给定两个正数，，数称为，的算数平均数；数称为，的几何平均数 2、如果，是正数，那么，当且仅当时，等号成立. 3、几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 4、重要不等式：,（当且仅当时取号）. 5、由公式和引申出的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 二、均值不等式的证明 1、法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 2、法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 三、利用均值不等式求最值 1、在用均值不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：含变数的各项均相等，取得最值. 2、积定和最小，和定积最大 （1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为. 题型一 利用均值不等式判断不等式 【例1】（多选）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】A：由重要不等式知：，而，故，正确； B：由，则，故，错误； C：由，则，错误； D：，故，正确. 故选：AD 【变式1-1】下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：若、时，故A错误； 对于B：因为，所以， 所以，即，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：若、时，，故C错误； 对于D：因为，所以， 即，当且仅当时取等号，故D正确；故选：D 【变式1-2】下列命题，错误的是（ ） A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2 C．若，则的最小值为2 D．若，则的最小值为2 【答案】D 【解析】A：由，当且仅当时等号成立，正确； B：由同号，则，当且仅当时等号成立，正确； C：由同号，则，当且仅当时等号成立，正确； D：若同正时，，当且仅当时等号成立， 若同负时，， 当且仅当时等号成立，错误，故选：D 【变式1-3】已知，且，则下列不等式不正确的（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 当且仅当时等号成立，所以，A正确； 由得，，同理， ， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 满足题意，但，C错； 由得，所以， 当且仅当即时等号成立，所以．D正确．故选：C 题型二 利用均值不等式求最值 【例2】当时，的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，又 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，故选：B 【变式2-1】已知，则函数的最小值是（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由题设，， ∴， 当且仅当时等号成立， ∴函数最小值为.故选：D. 【变式2-3】已知为正实数，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，而为正实数， 所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为8.故选：C 【变式2-4】已知，满足，则的最小值是（ ） A． B． C．2 D．2 【答案】D 【解析】由，得，而，则有， 因此，， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为2.故选：D 【变式2-5】已知实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】设，，， 可得， 则. 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 题型三 利用均值不等式证明不等式 【例3】已知，，证明：； 【解析】∵，， ∴，当且仅当“”时等号成立， ，当且仅当“”时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. 【变式3-1】已知a，b都是正数，若，证明：； 【解析】由，得，即 ， 当且仅当时“=”成立． 所以． 【变式3-2】已知，且，求证： （1）； （2）. 【答案】