专题06 构造函数证明不等式-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之导数

专题6 构造函数证明不等式 一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点, 利用导数证明不等式在近几年高考中出现的频率比较高．求解此类问题关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数,然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域),从而达到证明不等式的目的． 二、解题秘籍 (一) 把证明转化为证明 此类问题一般是有最小值且比较容易求,或者有最小值,但无法具体确定,这种情况下一般是先把的最小值转化为关于极值点的一个函数,再根据极值点所在范围,确定最小值所在范围 【例1】（2022届河南省安阳市重点高中高三模拟调研）已知函数． (1)若是的极值点,求a； (2)若,证明：． 【解析】 (1)由题意知,,则,解得； 当时,,当时,,,, 当时,,,,则是的极值点,则； (2)若,则,令,则, 令,则,又,则存在使, 则,,,,则函数在单减,在单增, 则,则. (二) 把证明 转化为证明 此类问题是证明不等式中最基本的一类问题,把两个函数通过作差转化为一个函数,再利用导数研究该函数的性质,通过函数性质证明该不等式. 【例2】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时,证明：. 【解析】 (1)依题意知,, 令得, 当时,在上,单调递减,在单调递增； 当时,在上,单调递增,在单调递减. (2)依题意,要证, ①当时,,,故原不等式成立, ②当时,要证：,即证：, 令,则,, ∴在单调递减,∴,∴在单调递减,∴,即, 故原不等式成立. (三) 把证明 转化为证明 有时候把证明 转化为证明后,可能会出现的导函数很复杂,很难根据导函数研究的最值,而的最小值及的最大值都比较容易求,可考虑利用证明的方法证明原不等式,但要注意这种方法有局限性,因为未必有. 【例3】已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若,证明：． 【解析】 (1)由题可知,,． 若,,所以在上单调递增,在上单调递减； 若,令,解得或（舍）, 所以在上单调递增,在上单调递减； 若,当,即时,在上恒成立,所以在上单调递增； 当时,令,解得或,所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增； (2)证明：若,要证,即证,即证． 令函数,则． 令,得；令,得． 所以在上单调递增,在上单调递减,所以, 令函数,则． 当时,；当时,． 所以在上单调递减,在上单调递增,所以． 因为,所以, 即,从而得证． (四) 把证明转化为证明 若直接证明比较困难,有时可利用导数中的常见不等式如构造一个中间函数,或利用不等式的性质通过放缩构造一个中间函数,再通过证明来证明原不等式. 【例4】已知函数在区间上单调． (1)求的最大值； (2)证明：当时,． 【解析】 (1)由已知得,, 要使函数在区间上单调,可知在区间上单调递增, 令,得,即, 解得,（）, 当时满足题意,此时,在区间上是单调递增的,故的最在值为. (2)当时,要证明,即证明, 而,故需要证明. 先证：,（） 记, , 时,,所以在上递增, , 故,即. 再证：,（） 令, 则则, 故对于,都有,因而在,上递减, 对于,都有, 因此对于,都有. 所以成立,即成立, 故原不等式成立. (五) 改变不等式结构,重新构造函数证明不等式 此类问题要先对待证不等式进行重组整合,适当变形,找到其等价的不等式,观察其结构,根据结构构造函数.常见的变形方法有： ①去分母,把分数不等式转化为整式不等式； ②两边取对数,把指数型不等式转化为对数型不等式； ③不等式为类型,且的解集比较容易确定,可考虑两边同时除以； ④不等式中含有,有时为了一次求导后不再含有对数符号,可考虑不等式两边同时除以； ⑤通过换元把复杂的不等式转化为简单不等式. 【例5】（2022届新疆高三年级第三诊断性）已知函数, (1)若在处的切线为,求实数a的值； (2)当,时,求证： 【解析】 (1)∵,∴,∴ (2)要证,即证,只需证,因为,也就是要证, 令, ∵,∴ ∴在为减函数,∴, ∴,得证 (六) 通过减元法构造函数证明不等式 对于多变量不等式 ,一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量；当都不能处理的时候,通过变形,再换元产生一个新变量,从而构造新变量的函数. 【例6】（2022届山东省济南市高三下学期冲刺卷）已知函数,,． (1)讨论的单调性； (2)设有两个极值点,,证明：．（…为自然对数的底数） 【解析】 (1),, ①当时,,在单调递增； ②当时,令解得,时,,单调递增； 时,,单调递减． 综上,当时,在单调递增；当时,在上单调递增,在上单调递减, (2)由题意知,,,是的两根, 即,,解得, 要证,即证,即, 把（*）式代入得, 所以应证, 令,,即证成立, 而, 所以在上单调递增, 所以,所以命题得证． (七) 与数列前n项和有关的不等