专题05 不等式恒成立问题-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之导数

专题5 不等式恒成立问题 一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点,利用导数研究不等式恒成立问题一直是高考命题的热点,此类问题一般会把函数、导数及不等式交汇考查,对能力要求比较高,难度也比较大,常见的题型是由不等式恒成立确定参数范围问题,常见处理方法有：①首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围．②也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题． 二、解题秘籍 (一) 与不等式恒成立问题有关的结论 ①. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A； ②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)max<A ； ③. ∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x)min >0； ④. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴ F(x) max <0； ⑤. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立,则f(x)min> g(x)max； ⑥. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) <g(x2)恒成立,则f(x) max < g(x) min. 【例1】设为实数,函数,. (1)若函数轴有三个不同交点,求的范围 (2)对于,,都有,试求实数的取值范围. 【解析】 (1) 由,解得 或；由解得 所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增. 函数轴有三个不同交点,则 解得 所以函数轴有三个不同交点,实数的取值范围 (2)对于,,都有,则. 由（1）可知,函数在上单调递减,在上单调递增, 故当时,, 因为,且,则且不恒为零, 故函数在上单调递增,故, 由题意可得,故. 所以实数a的取值范围为 (二)通过构造函数求最值解决不等式恒成立问题 ①该方法一般是根据不等式的结构构造一个新函数,利用导数研究该函数的单调性,由函数的单调性确定其最值,或把其最值用含有参数的式子来表示,再根据所给不等式列出关于参数的不等式, ②注意如果所构造的函数,其导数结构比较复杂不易分析出单调性,则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数,再想办法解决其符号. ③有时所构造的函数的最值不易求出,可以引入导数的隐零点,把函数最值用导数的隐零点表示. ④在考虑函数最值时,除了依靠单调性,也可根据最值点的出处,即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”,所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内. 【例2】（2022届华大新高考联盟名校高考押题卷）设函数,其中. (1)当时,求函数的单调区间； (2)若,求实数的取值范围. 【解析】 (1), . 当时,恒成立,则在上为减函数, 当时,令,可得,则,解得, 令,解得, 综上,当时,的减区间为； 当时,的单调递增区间为,单调递减区间为. (2)由,可得 设, 则. ①当时,,单调递增,而, 所以不满足题意, ②当时,令,解得, 当时,,为减函数, 当时,,为增函数, 所以. 令, , 当时,,为增函数, 当时,,为减函数, 所以,又. 则,解得,所以实数的取值范围是. (三) 通过分类参数把不等式恒成立问题转化为求不含参数的函数的最值 ①分类参数法就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量,另一个视为参数）,可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧,即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围,转化为求函数的最值问题. ②一般情况下,那个字母的范围已知,就将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母（一般为所求）视为参数. ③要注意分类参数法不是万能的,已知不等式中两个字母是否便于进行分离,如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的,则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”,会出现无法分离的情形,此时要考虑其他方法.此外参数分离后,要注意变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值）,若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值）,则也无法用分离法解决问题. 【例3】（2022届山东省聊城市高三5月三模）已知函数,. (1)当b=1时,讨论函数的单调性； (2)若函数在处的切线方程为,且不等式恒成立,求实数m的取值范围. 【解析】 (1)当b=1时,,定义域为（0,+∞）,. 当时,,所以函数在（0,+∞）上单调递减. 当时,, 令,得；令,得, 所以函数在（0,a）上单调递增,在（a,+∞）上单调递减. 综上,当时,函数在（0,+∞）上单调递增, 当时,函数在（0,a）上单调递增,在（a,+∞）上单调递减. (2)因为函数在处的切线方程为y=(e－1)x－2, 所以,且,由于, 所以解得a=b=1,所以f(x)=lnx－x, 所以f(x)