专题04 用导数研究函数的最值-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之导数

专题4 用导数研究函数的最值 一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的最值是函数的一个重要性质,有些复杂的函数的最值,只能借助导数来求,高考常考题型一是给出确定函数或含有参数的函数求最值,二是求解不等式恒成立问题,常常利用函数的最值来求解,此类问题一般难度较大,多以压轴题形式出现. 二、解题秘籍 (一) 求函数在闭区间上的最值 一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值． 求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b)； (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值． 【例1】（2022届重庆市南开中学高三考试）已知函数． （1）当时,求在区间上的最值； （2）若在定义域内有两个零点,求的取值范围． 【分析】（1）当时, , ,, ,. （2）,则, ∴在单调递增,在单调递减,作出函数和得图像, ∴由图象可得. (二) 求函数在非闭区间上的最值 求函数在非闭区间上的最值,一般通过函数的研究函数的单调性与极值来确定,若函数在某一区间上有唯一极值点,则该点处的极值一定是函数的最值. 【例2】（2022届吉林省吉林市高三第四次调研）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)证明： ． 【解析】 (1)函数的定义域是R，， 设，则，∴在R上单调递增． 又， 令，则；令，则． ∴在上单调递减，在上单调递增． 即的最小值为：． (2)由（1）得：，即（当且仅当时，等号成立）． 令，则， ①当时，不等式成立； ②当时，． 所以，， ， …… ． 将上式左右两边分别相加得： ． ∴， 综上：． (三) 含单参数的函数的最值问题 含单参数的函数的最值一般不通过比值求解,而是先讨论函数的单调性,再根据单调性求出最值．含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间,二是定极值点动区间,这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论． 【例3】已知a∈R,函数f(x)＝＋ln x－1. (1)当a＝1时,求曲线y＝f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； (2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值． 【分析】(1)f(x)＝＋ln x－1,x∈(0,＋∞),f′(x)＝－＋＝,x∈(0,＋∞)． 确定曲线y＝f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为x－4y＋4ln 2－4＝0. (2)f′(x)＝－＋＝,x∈(0,e]．令f′(x)＝0,得x＝a. 根据a与(0,e]位置关系分类讨论 ①若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值． ②若0<a<e,则当x∈(0,a)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减；当x∈(a,e]时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增, 所以当x＝a时,函数f(x)取得最小值ln a. ③若a≥e,则当x∈(0,e]时,f′(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减, 所以当x＝e时,函数f(x)取得最小值. 综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值； 当0<a<e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为ln a； 当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为. (四) 把不等式恒成立或有解问题转化为函数的最值问题 有些不等式恒成立或有解问题,常通过分类参数,转化为求函数的最值问题,常用结论是：若的值域为,则恒成立,有解. 【例4】（2022届辽宁省实验中学高三下学期考前模拟）已知函数 (1)请讨论函数的单调性 (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围 【解析】 (1) 当时，在上递增 当时，在，单调递减 在上，单调递增 (2)原式等价于 设， 由（1）当时，为增函数 ， ， ∴等式等价于恒成立， 时，成立，时，， 设，， ， 设， 所以在上为增函数， 又因为，所以在上，，，为减函数， 在上，，，为增函数， ，． (五) 含双参数的函数的最值问题 含双参数的函数的最值一般与恒成立问题有关，通常是先通过函数的最值把问题两个参数的等式或不等式，再把其中一个参数看作自变量，构造函数求解． 【例5】（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若，求b的最小值． 【解析】 (1)当时，，，当时，，在R上单调递增；当时，令有，当时，，单调递减，当时，，单调递增. (2)当时，由（1）若，则有解即可，即有解，即有解，设，则，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.故，故当.故b的最小值为 (六) 根据恒成立,求整数a的最大值 根据恒成立,求整数a的最大值,通