专题1.8 基本不等式-重难点题型精练-2023年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）

专题1.8 基本不等式-重难点题型精练 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（2022春•遵义期末）负实数x，y满足x+y＝﹣2，则的最小值为（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 【解题思路】先得到x+2＞0，x，再利用配凑法和基本不等式求最值即可． 【解答过程】解：∵负实数x，y满足x+y＝﹣2， ∴y＝﹣x﹣2＜0，∴x＞﹣2，∴x+2＞0， ∴xx+22≥22＝0， 当且仅当x+2，即x＝﹣1时取等号， ∴x+22≥0， ∴的最小值为0， 故选：A． 2．（5分）（2022春•丹东期末）若x＞1，则函数的最小值为（　　） A．4 B．5 C．7 D．9 【解题思路】利用配凑法，再结合基本不等式求最值即可． 【解答过程】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0， ∴函数x ＝x2＝x﹣13≥23＝7， 当且仅当x﹣1，即x＝3时取等号， ∴的最小值为7， 故选：C． 3．（5分）（2022春•运城期末）已知x，y∈R，且（x+2）（y+1）＝4，则下列一定正确的为（　　） A．x2+y2+4x+2y≥3 B．2x+3y+xy≥3 C．ex+1+ey≥2e D．xy≤2﹣2 【解题思路】举反例x＝﹣6，y＝﹣2可判断选项B、C、D，化简x2+y2+4x+2y＝（x+2）2+（y+1）2﹣5，从而判断选项A． 【解答过程】解：当x＝﹣6，y＝﹣2时， （x+2）（y+1）＝4成立， 但2x+3y+xy＝﹣6＜3， ex+1+ey＝e﹣5+e﹣2＜2e， xy＝12＞2﹣2， 故选项B、C、D错误； x2+y2+4x+2y＝（x+2）2+（y+1）2﹣5 ≥2（x+2）（y+1）﹣5＝3， 当且仅当x+2＝y+1时，等号成立， 故选项A正确； 故选：A． 4．（5分）（2022春•长治期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【解题思路】利用题中的条件构造函数f（x）＝x，即可解出a与b的关系，利用1的变形，即可解出． 【解答过程】解：由， ∴， 令函数，f′（x）0， 则函数f（x）单调递增， ∴1﹣a＝2b，得a+2b＝1， ∴（a+2b）（）5≥25＝9， 当且仅当时取等号． 故选：C． 5．（5分）（2021春•陕西校级期末）把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值为（　　） A．cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2 【解题思路】把长为12cm的细铁丝截成两段，设其中一段为x，则另一段为12﹣x．则这两个正三角形面积之和，再利用基本不等式的性质即可得出． 【解答过程】解：把长为12cm的细铁丝截成两段，设其中一段为x，则另一段为12﹣x． 则这两个正三角形面积之和 [x2+（12﹣x）2]2．当且仅当x＝6时取等号． ∴这两个正三角形面积之和的最小值为2cm2． 故选：B． 6．（5分）（2021秋•怀仁市期末）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（2+∞） 【解题思路】利用“乘1法”与基本不等式的性质，求出的最小值，然后求出实数m的取值范围． 【解答过程】解：∵两个正实数x，y满足， ∴（）（）（2）≥2（2+2）＝2， 当且仅当且，即x＝1，y＝2时取等号， ∵不等式有解，∴m2﹣m＞2， 解不等式可得m＞2或m＜﹣1． 故选：D． 7．（5分）（2021秋•新兴县校级月考）已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式2恒成立，则m的取值范围是（　　） A．m＜2 B．m≥1 C．0＜m≤1 D．1＜m≤2 【解题思路】根据题意可得（x+y）＝1，且x＞0，y＞0，从而（x+y）（）（m+1）（m+1+2）（m+1+2），进一步利用基本不等式并结合不等式2恒成立即可求解． 【解答过程】解：由xy＞0，x+y＝2，得（x+y）＝1，且x＞0，y＞0， 又m＞0，所以（x+y）（）（m+1）（m+1+2）（m+1+2）， 当且仅当，即x，y时等号成立， 又不等式2恒成立， 所以（m+1+2）≥2，即（）2+23≥0，解得1，即m≥1， 故选：B． 8．（5分）（2022春•南充期末）△ABC满足，∠BAC＝60°，设M是△ABC内的一点（不在边界上），定义f（M）＝（x，y，z），其中x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，若，则的最小值为（　　） A．24 B．9 C．16 D． 【解题思路】由数量积公式可求得||•||＝4，由此求得△ABC的面积，进而得到x+y，且x＞0，y＞0，再由（x+y）（），利用基本不等式即可求解． 【解答过程】解：∵，