1.5 平面上的距离-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)

1.5 平面上的距离 一、点到点的距离 1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为： 2、三种特殊距离： （1）原点到任意一点的距离为； （2）当平行于轴时，； （3）当平行于轴时，. 3、中点坐标公式：若，，则线段的中点的坐标公式为： ，. 二、点到直线的距离 1、定义：点到直线的垂线段的长度. 2、距离公式：点到直线的距离. 【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. （2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离； （3）带你到直线的距离公式适用于任何情况，其中点在直线上时，它到直线的距离为0. 三、平行线间的距离 1、距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程中和的系数对应相等。 2、两平行线间的距离另外一种解法： 转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点）， 此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离。 四、点关于点的对称问题 1、实质：该点是两对称点连线段的中点 2、方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称 五、直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行 2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程） 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 六、点关于直线的对称问题 1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线 2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 （2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为 七、直线关于直线的对称问题 1、当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 2、当与l平行时：对称直线与已知直线平行. 题型一 点到点的距离求解 【例1】已知点，，那么A，B两点之间的距离等于（ ） A．8 B．6 C．3 D．0 【答案】C 【解析】因点，，则， 所以A，B两点之间的距离等于3.故选：C 【变式1-1】已知直线：与直线：的交点为，则点与点间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】联立方程，解得， 所以，所以，故选：D 【变式1-2】已知点，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析. 【解析】∵， ， ， ∴， ∵， ∴，∴三点不共线， ∴是等腰三角形． 【变式1-3】已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（ ） A．10 B．13 C．16 D．20 【答案】B 【解析】因为，所以直线与直线互相垂直且垂足为点， 又因为直线过定点， 直线，即过定点， 所以在中，，故选：B. 题型二 由两点距离公式求最值 【例2】设的最小值为_______. 【答案】 【解析】从几何意义看， +表示点到点和距离的和， 其最小值为和两点间的距离. 故答案为： 【变式2-1】求函数的最小值为___________. 【答案】5 【解析】函数 表示轴上动点到和的距离和， 当为与轴的交点时，函数取最小值， 故答案为：5 【变式2-2】求函数的最小值． 【答案】 【解析】由题意，函数， 根据两点距离公式的几何意义得， 函数表示到点距离之和， 如图所示，作出点关于的对称点， 连接，交轴于点，连接， 可得 又由， 当且仅当点与重合时，等号成立， 所以，即函数的最小值为． 【变式2-3】若不等式对于任意的实数恒成立，则的最大值是________，此时________． 【答案】18；7 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， 设， 则四边形为平行四边形， 而 即为：. 而， 当且仅当为平行四边形的对角线的交点时等号成立，此时， 故的最小值为18，此 时即 故答案为：18，7. 题型三 点到直线的距离求解 【例3】在平面直角坐标系中，原点到直线的距离等于（ ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【解析】原点到直线的距离为.故选：B. 【变式3-1】点(1，2)到直线的距离为___． 【答案】 【解析】由点线距离公式有(1，2)到直线的距离为. 故答案为： 【变式3-2】已知直线，，且，点到直线的距离（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，解得，故，故选：D 【变式3-3】点到直线的距离等于4，则实数m___________. 【答案】或4