第12讲 平面向量　讲义　2022年暑假沪教版（上海）八升九新课衔接课

第12讲 平面向量 知识归纳 向量的加法和减法的运算方法是什么？怎么表示的？平行四边形法则是怎么表示的？ （任取两个向量，作图说明下） 思考：我们知道，那么 ？ ？ 即几个相同的向量相加，是否能像几个相同的数相加一样呢？以上面问题作图说明一下。 知识点归纳：一般的，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加．又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 在此基础上规定向量的另一种新的运算，即实数与向量相乘的运算： 为实数，为向量；如果，那么的长度；的方向：当时，与同方向；当时，与反方向。 如果或，那么； 根据实数与向量相乘的意义： 练习：如图，矩形ABCD中，E、M、F、N 是AB、DC 的三等分点，设试用向量表示向量.A E D M B F N C 思考：如图，已知非零向量，求作（1） （2）（3） （4） （5） （6）。观察、比较（1）与（2），（3）与（4），（5）与（6）的结果，你有什么发现？ 讨论：通过前面的发现，讨论总结一下实数与向量相乘运算的一般规律。 注意引导实数变成一般字母的规律；同时注意让学生体会实数为负数同样成立的举例验证 设为实数，为向量，则 （1）实数与向量相乘的结合律：； （2）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：； （3）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：． 1．下面给出四个命题中不正确的是（ ） A．对于实数和向量恒有： B．对于实数、和向量，恒有 C．对于实数和向量，若，则有 D．对于实数和向量，若，则 2．计算：. 3．如果向量满足关系式，试用向量表示向量. 思考：若是非零向量，，那么向量与有什么位置关系？ 思考：如图，在等腰梯形ABCD中，，EF是梯形中位线，AD=2，BC=4，设,能将向量用向量表示出来吗？ A B C D F E 讨论：已知是非零向量，如果，那么能用表示出来吗？ 平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一实数m，使. 1．设非零向量，，满足，判断向量，是否平行？ 2．已知，其中是非零向量，判断向量，是否平行？ 典型例题 例题1：我们把长度为1的向量叫做单位向量，通常用符号表示，模长表示为：，则下列说法错误的是（ ） A. 有无数个 B. 不同的单位向量，它们的方向不同 C. 设是非零向量，且，则 D. 设是非零向量，且，则 试一试：若向量与单位向量的方向相同，且，则＝________．（用表示） 例题2： 如图，已知两个不平行的向量． 先化简，再求作：． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 例题3：如图，梯形中， //，、是、的中点，若，，那么用、的线性组合表示向量 ．A D C B F E 试一试：在△中，点 在边 上，, , ，那 讨论：如图，给定两个不平行的向量，对于平面内任意一个向量，都可以确定它关于的分解式吗？ O 试一试：如图，平行四边形中，点、分别是边、的中点，设，． （1）分别求向量、、关于、的分解式； （2）作出向量分别在、方向上的分向量．（画出图形，写出结论，不要求写作法） 课上习题 1．已知两个不平行的向量，化简并求作： 2．如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1,已知向量和的起点、终点都是小正方形的顶点.请完成下列问题： （1）设，，判断向量是否平行，说明理由； （2）在正方形网格中画出向量：，并写出的模．（不需写出做法，只要写出哪个向量是所求向量）． 3．如图，已知，点A、G、B、C分别在和上，． （1）求的值； （2）若，，用向量与表示． 4．如图，在中，点是边的中点，，. A B C D （1）求的长； （2）设，，求向量（用向量、表示）. 课后作业 1．如图，在中，点是重心， 设向量，，那么向量　　 　　（结果用、表示）． 2．已知是△的重心，设，，那么= （用、表示）． 3．如图，梯形中，∥，， ，，请用 向量表示向量 ． 4．在△中，点 在边 上，, , ，则 ． 5．如图，点E是平行四边形ABCD边BC上一点，且，点F是边CD的中点，AE与BF交于点O，O F E D C B A （1）设，试用、表示； （2）求的值。 6如图，已知向量、和； （1）求作：向量分别在、方向上的分向量、；（不要求写作法，但要在图中明确标出向量和） （2）如果点是线段的中点，联结，交线段于点，设，，那么试用、表示向量、；（请直接写出结论） 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 平面向量 知识归