2.2.3 一元二次不等式的解法-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第一册)

2.2.3 一元二次不等式的解法 一、一元二次不等式的概念 1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 2、一般形式：，，（其中a≠0，a，b，c均为常数） 3、一元二次不等式的解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。 二、三个“二次”之间的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 三、不含参数的一元二次不等式的解法 1、用因式分解法解一元二次不等式 （1）如果，则不等式的解集是， 不等式的解集是 （2）方法步骤 第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集. 2、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式通过配方总是可以变为或的形式， 然后根据的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 四、含参数的一元二次不等式的解法步骤 1、讨论二次项系数：二次项系数若含有参数，应讨论时等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化二次项系数为正的形式； 2、判断方程根的个数：判断方程根的个数，讨论判别式与0的关系； 3、写出解集：（1）确定方程无根时可直接写出解集； （2）确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式。 五、分式不等式的解法 解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式。 设A、B均为含x的多项式 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。 题型一 不含参数的一元二次不等式的解法 【例1】不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】不等式可化为， 解得：，所以原不等式的解集为. 【变式1-1】不等式的解集为______． 【答案】 【解析】∵不等式等价于， 所以不等式的解集为． 【变式1-2】解不等式： （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1）；（2）或；（3）R；（4）或. 【解析】（1）由，可得，解集为. （2）由，可得或，解集为或； （3）由恒成立，故解集为R； （4）， 可得或，解集为或. 【变式1-3】求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1），解得： 不等式解集为：. （2），整理得：，即 解得：，不等式解集为：. （3），整理得： ，故不等式再实数范围内无解 不等式解集为：. 题型二 含参数的一元二次不等式的解法 【例2】解关于的不等式： 【答案】见解析 【解析】方程的解为，， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【变式2-1】解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【解析】①当时，原不等式可化为，解得； ②当时，原不等式可化为，解得； ③当时，原不等式可化为， <i>当，即时，解得或； <ⅱ>当，即时，解得或； <ⅲ>当，即时，解得或. 综上所述，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【变式2-2】解关于的不等式． 【答案】答案见解析. 【解析】原不等式可化为： ，令 可得： 当或时，， ； 当或时， ，不等式无解； 当或 时，， 综上所述，当或时，不等式解集为； 当或时，不等式的解集为； 当或时，不等式解集为． 【变式2-3】解关于x的不等式 【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】关于x的不等式，可化为 （1）当时，，解得． （2）当，所以 所以方程的两根为-1和， 当，即时，不等式的解集为或}， 当，即时，不等式的解集为． 当，即时，不等式的解集为或}． （3）当时， 因为方程的两根为—1和， 又因为，