1.2反证法（第3课时）（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高一数学精品教学课件（沪教版2020必修第一册）

1.2反证法（第3课时）（作业）（夯实基础+能力提升） 【夯实基础】 一、单选题 1．（2021·上海·高一专题练习）用反证法证明命题：“已知，，若不能被5整除，则与都不能被5整除”时，假设的内容应为（       ） A．、都能被5整除 B．、不都能被5整除 C．、至多有一个能被5整除 D．、至少有一个都能被5整除 【答案】D 【分析】根据反证法证明数学命题的方法和步骤，可知应假设命题的否定成立. 【详解】假设的内容是命题“与都不能被5整除”的否定为“、 至少有一个能被5整除”. 故选：D 2．（2021·上海·南洋中学高一期中）用反证法证明命题：“，若可被整除，那么中至少有一个能被整除．”时，假设的内容应该是 A．都不能被5整除 B．都能被5整除 C．不都能被5整除 D．能被5整除 【答案】A 【分析】根据反证法的概念，即可得到命题的假设，解得求解. 【详解】根据反证法的概念可得：用反证法证明命题：“，若可被整除，那么中至少有一个能被整除．”时，假设的内容应该是“都不能被5整除”，故选A. 【点睛】本题主要考查了反证法的概念，其中解答中熟记反证法的基本概念，根据命题的否定，准确书写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 二、填空题 3．（2022·上海长宁·高一期末）若要用反证法证明“对于三个实数，，，若，则或”，应假设___________. 【答案】且 【分析】假设结论的反面成立，即可得到答案； 【详解】假设结论的反面成立，即且成立； 故答案为：且 4．（2021·上海市行知中学高一阶段练习）用反正法证明：“若，则或”时，需假设_________. 【答案】 且##且 【分析】根据反证法的定义即可得到答案. 【详解】“x≤1或y≤1”的否定为：“x>1且y>1”. 故答案为：x>1且y>1. 5．（2021·上海·位育中学高一期中）著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______． 【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 【分析】从命题的否定入手可解. 【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题. 三、解答题 6．（2021·上海市大同中学高一阶段练习）证明：若、、，且，，，则、、中至少有一个不小于0. 【分析】利用给定条件借助反证法证明、、都小于0不可能即可得解. 【详解】假设、、都小于0，即，则有， 因、、，且，，， 于是得，与矛盾， 从而假设是错的，即、、都小于0是错的，则原结论成立， 所以、、中至少有一个不小于0. 7．（2021·上海市延安中学高一阶段练习）已知. （1）若，，证明为锐角三角形； （2）如图，过顶点作，垂足位于边上.若且，证明不是直角. 【分析】（1）首先根据已知条件得到，从而得到，即可证明为锐角三角形. （2）利用反正法证明即可. 【详解】（1）由，得， 所以， 由､且得为锐角三角形. （2）用反证法证明. 假设. 则，得， 与条件矛盾， 所以不是直角. 8．（2021·上海·高一专题练习）证明：是无理数． 【分析】用反证法假设是有理数，令，q为有理数，平方之后等号左后两侧相互矛盾，则假设不成立，则习题结论得证． 【详解】证明：假设是有理数，则令，q为有理数， 两边平方得， 由此可得，左边为无理数，右边有有理数，矛盾，所以假设不成立， 那么是无理数． 【点睛】本题考查了反证法的使用，熟知其证明步骤是解题的关键． 9．（2021·上海·高一单元测试）已知x是有理数，y是无理数，求证：是无理数． 【解析】运用反证法进行证明即可. 【详解】假设是无理数不成立，即是有理数， 因为x是有理数，所以是互质的整数， 因为是有理数，所以是互质的整数， 因此，因为是整数，显然也是整数， 故y是有理数，这与已知y是无理数矛盾，故假设不成立，所以是无理数． 10．（2021·上海·高一专题练习）（1）已知，证明：若，则a，b，c中至少有一个小于； （2）已知，判断“”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）充分非必要条件，证明见解析. 【解析】（1）利用反证法即可证明. （2）利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果. 【详解】（1）证明：假设，，， 则，这与矛盾， 所以a，b，c中至少有一个小于. （2）由（1）可得a，b，c中至少有一个小于， 反之不一定成立，例如：，，，则， 所以“”是“a，b，c中至少有一个小于” 的充分非必要条件. 【点睛】本题考查了反证法证明不等式、充分条件、必要条件的定义，属