利用导数研究函数零点问题1 课件-2021-2022学年高二上学期人教A版数学选修1-1

高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用 补充专题 利用导数函数零点问题（1） (1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； 题型一　数形结合研究函数的零点 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 令f′(x)＝0，得x＝e. 当x∈(0，e)时，f′(x)<0； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增， ∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝2. (1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)． 当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减． ∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点， 因此x＝1也是φ(x)的最大值点， 结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知， ④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点． 含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围． 思维升华 例2.已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e.(1)求a，b的值； (2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围. 例2.已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e. (1)求a，b的值； 解　f(x)＝ex(ax＋1)， 则f′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)， ∴a＝1，b＝3e. (2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围. 解　g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m， 函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，相当于函数u(x)＝ex·(x－2)的图象与直线y＝m有两个交点，u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)， 当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0， ∴u(x)在(－∞，1)上单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0， ∴u(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e. 又当x→＋∞时，