专题03 极值点偏移问题-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之导数

专题3 极值点偏移问题 一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点, 近几年高考试卷及各地模拟试卷中常出现与函数极值点偏移有关的函数与不等式问题（如2022高考全国卷甲理22）,已知函数是连续函数,在区间内有且只有一个极值点,且,若极值点左右的“增减速度”相同,常常有极值点,我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同,函数的图象不具有对称性,常常有极值点的情况,我们称这种状态为“极值点偏移”.此类问题背景新颖,教材中又没有涉及,不少同学望而生畏,本专题给出此类问题的常用解法,共同学们参考. 二、解题秘籍 (一) 通过对称化构造新函数破解极值点偏易问题 【例1】已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)已知函数的图像与的图像关于直线对称,证明：当时,； (3)如果,且,证明：． 【分析】(1)由可得在上递增,在上递减,有极大值,无极小值； (2),构造函数,,由单调性可得时； (3)假设,由(2)得,即,由在上递增,可得. 该题的三问由易到难,层层递进,完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程,直观展示如下： 【例1】是这样一个极值点偏移问题：对于函数,已知,,证明． 再次审视解题过程,发现以下三个关键点： ①,的范围； ②不等式； ③将代入（2）中不等式,结合的单调性获证结论． 小结：用对称化构造的方法求解极值点偏移问题大致分为以下三步： ①求导,获得的单调性,极值情况,作出的图像,由得,的取值范围（数形结合）； ②构造辅助函数（对结论,构造；对结论,构造）,求导,限定范围（或的范围）,判定符号,获得不等式； ③代入（或）,利用及的单调性证明最终结论． 下面给出第(3)问的不同解法 【解析】法一：,易得在上单调递增,在上单调递减,时,,,时,, 函数在处取得极大值,且,如图所示. 由,不妨设,则必有, 构造函数, 则,所以在上单调递增,,也即对恒成立. 由,则, 所以,即,又因为,且在上单调递减, 所以,即证 法二：欲证,即证,由法一知,故,又因为在上单调递减,故只需证,又因为, 故也即证,构造函数,则等价于证明对恒成立. 由,则在上单调递增,所以,即已证明对恒成立,故原不等式亦成立. 法三：由,得,化简得…, 不妨设,由法一知,.令,则,代入式,得,反解出,则,故要证：,即证：,又因为,等价于证明：…, 构造函数,则, 故在上单调递增,,从而也在上单调递增,,即证式成立,也即原不等式成立. 法四：由法三中式,两边同时取以为底的对数,得,也即,从而, 令,则欲证：,等价于证明：…, 构造,则, 又令,则,由于对恒成立,故,在上单调递增,所以,从而,故在上单调递增,由洛比塔法则知：,即证,即证式成立,也即原不等式成立. (二) 含参函数问题可考虑先消去参数 含参数的极值点偏移问题,在原有的两个变元的基础上,又多了一个参数,故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数,从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介,构造出一个变元的新的函数.由于可导函数的极值点是的零点,也是方程的实根,所以有些与零点或方程实根有关的问题可以利用求解极值点偏移问题的方法去解决. 【例2】已知函数,为常数,若函数有两个零点, 试证明： 【分析】法一：消参转化成无参数问题： ,是方程的两根,也是方 程的两根,则是,设,,则,从而,此问题等价转化成为【例1】,下略. 法二：利用参数作为媒介,换元后构造新函数： 不妨设, ∵,∴, ∴,欲证明,即证. ∵,∴即证, ∴原命题等价于证明,即证：,令,构造,利用单调性求解,下略. 法三：直接换元构造新函数： 设, 则, 反解出：, 故,转化成法二,略. (三) 对数平均不等式 两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当时,等号成立. 【例3】设函数其图象与轴交于两点,且. （1）求实数的取值范围； （2）证明：为函数的导函数）； 【分析】（1）,,当时,在R上恒成立,不合题意 当时, 当,即时,至多有一个零点,不合题意,故舍去； 当,即时,由,且在内单调递减,故在有且只有一个零点；由 令,则,故 所以,即在有且只有一个零点. （2）由（1）知,在内递减,在内递增,且 所以,因为, ,即,所以 所以,要证：,只须证,即 故,, 所以,所以 因为,所以,而 所以成立,所以 【评注】根据对数平均不等式求解的步骤是： 1.通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出, 2.通过等式两边同除以构建对数平均数, 3.利用对数平均不等式将转化为后再证明（或）. 两种方法各有优劣,适用的题型也略有差异. (四) 一题多解赏析 【例4】已知,．若有两个极值点,,且,求证： 【分析】解法一 欲证,需