专题02 函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之导数

专题2 函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题 一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题是近年高考的热点及难点,特别是隐零点及零点赋值经常成为导数压轴的法宝. 二、解题秘籍 (一) 确定函数零点个数 1.研究函数零点的技巧 用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数． 2. 判断函数零点个数的常用方法 (1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题． (2)分离出参数,转化为a＝g(x),根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可． 3. 处理函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点问题的常用方法 (1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况; (2)将函数交点问题转化为方程f(x)=g(x)根的个数问题,也通过构造函数y=f(x)-g(x),把交点个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况. 【例1】（2022届浙江省绍兴市高三适应性考试）设a为实数,函数． (1)当时,求函数的单调区间； (2)判断函数零点的个数． 【解析】 (1)函数的定义域为, 当时,, 则,且, 有,令, 所以当时,则单调递增, 当时,则单调递减, 所以,即, 则函数在上单调递减, 即函数的减区间为,无增区间； (2)由(1)知当时函数在上单调递减, 又,此时函数只有1个零点； 因为函数的定义域为,所以与具有相同的零点, 令, 则, 当时,,令, 则函数在上单调递减,在上单调递增, 所以,此时函数无零点,即函数无零点； 当时,令或, 若,则,列表如下： 1 - 0 + 0 - 极小值 极大值 当时, , 当即时,, ,又, 此时函数有1个零点,则函数有1个零点； 若,则,列表如下： 1 - 0 + 0 - 极小值 极大值 所以, 又,,则此时函数有2个零点,即函数有2个零点； 综上,当时,函数在上没有零点, 当时,函数在上有1个零点, 当时,函数在上有2个零点. (二) 根据函数零点个数确定参数范围 根据函数零点个数确定参数范围的两种方法 1.直接法：根据零点个数求参数范围,通常先确定函数的单调性,根据单调性写出极值及相关端点值的范围,然后根据极值及端点值的正负建立不等式或不等式组求参数范围； 2.分离参数法：首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围,分离参数法适用条件：(1)参数能够分类出来；(2)分离以后构造的新函数,性质比较容易确定. 【例2】（2022高考全国卷乙文）已知函数． （1）当时,求的最大值； （2）若恰有一个零点,求a的取值范围． 【解析】（1）当时,,, 当时,,单调递增； 当时,,单调递减； 所以. （2）因为 所以, 若,,时,单调递增,时,单调递减, ,所以没有零点, 若,,, 所以时,单调递增,时,单调递减,时,单调递增, 因为,所以在上没有零点,且, 由（1）知,所以,即,所以,即, 所以时, 因为,且,,在上恰有一个零点,满足题意, 若,,在上是增函数, 由可知恰有一个零点,满足题意, 若,则, 所以时,单调递增,时,单调递减,时,单调递增, 由,可得,且在上没有零点, 由（1）知, 所以时 所以当 ,即时,因为, 在上恰有一个零点,满足题意. 综上得a的取值范围是. (三)零点存在性赋值理论及应用 1.确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)； 求含参函数的极值或最值； 证明一类超越不等式； 求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a) 的符号