专题01 用导数研究含参函数的单调性-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之导数

专题1 用导数研究含参函数的单调性 一、考情分析 函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用.函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点. 二、解题秘籍 连续函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点,即方程的根,所以求解含参函数的单调性问题,一般要根据的根的情况进行分类,分类时先确定导函数是一次型还是二次型 1.若导函数是一次型,分类步骤是： ①判断是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况； ②若有根,求出导的根,并判断根是否在定义域内；若根不在定义域内会出现恒成立的情况； ③若根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性； 2. 若导函数是二次型,分类步骤是： ①先判断二次型函数是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况； ②判断根是否在定义域内,若仅有一个根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性； ③若两个根都在定义域内,需要根据两个根的大小进行讨论,当根的大小确定后,再讨论每个单调区间上的单调性. 下面我们根据的根的情况总结出10类题型及解法,帮助同学们掌握这类问题的求解方法. 类型一：定义域不是,可化为单根型一次方程 思路：根据根是否在定义域内进行分类 【例1】讨论的单调性 分析：,根的情况转化为根的情况 根据是否在定义域内进行分类 答案： (1),在上是增函数； (2),在上是减函数,在上是增函数. 类型二：定义域不是,可化为单根型类一次方程 思路：根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类 【例2】讨论的单调性 分析：,根的情况转化为在上根的情况. 步骤一：讨论(无实根)； 步骤二：讨论,由得(不在定义域内)； 步骤三：讨论,根据是否在定义域内再分. 答案： (1),在上是减函数； (2),在上是减函数； (3) (i), ,在上是增函数； (ii),在上是减函数,在上是增函数. 类型三：定义域为, 可化为单根型类二次（或高次）方程 思路：根据的系数符号进行分类 【例3】讨论的单调性 分析：,因为, 根的情况转化为根的情况, 步骤一：讨论； 步骤二：讨论,注意此时 ； 步骤三：讨论,注意不等式两边除以,不等式要改变方向. 答案： (1)时在上递增,在上递减； (2)时在上递减； (3) 时在上递减,在上递增. 类型四：定义域不是,可化为单根型二次方程 思路：根据方程的根是否在定义域内进行分类 【例4】讨论的单调性 分析：,因为,根的情况转化为在上根的情况. 步骤一：讨论(无实根)； 步骤二：讨论,由得； 答案： (1),在上是增函数； (2),, ,在上是增函数；,,在上是减函数. 类型五：定义域为, 可化为双根型二次方程 思路：根据根的大小进行分类 【例5】讨论的单调性 分析：,根的情况转化为的根的情况,根据与的大小进行讨论. 步骤一：讨论； 步骤二：讨论,注意此时； 步骤三：讨论. 答案： (1)在上是增函数,在上是减函数； (2),在上是增函数； (3), 在上是增函数,在上是减函数. 类型六：定义域不是,可化为双根型二次方程 思路：根据根是否在定义域内及根的大小进行分类 【例6】讨论的单调性 分析：,根的情况转化为在上根的情况. 步骤一：讨论(根不在定义域内). 步骤二：讨论(根据的大小再分) 答案： (1),在上是增函数； (2)在上是增函数,在上是减函数； (3),在上是增函数； (4), 在上是增函数,在上是减函数. 类型七：定义域是,可化为双根型类二次方程 思路：根据根的个数及根的大小进行分类 【例7】讨论的单调性 分析：,根的情况转化为根的情况. 步骤一：讨论(无实根)； 步骤二：讨论,此时； 步骤三：讨论(根据的大小再分) 答案： (1),在上是增函数,在上是减函数； (2) 在上是减函数,在上是增函数； (3)在上是增函数,在上是减函数； (4),在上是增函数； (5), 在上是增函数,在上是减函数. 提醒：对于类二次方程,不要忽略对项的系数为零的讨论 类型八：定义域不是,可化为双根型类二次方程 思路：根据根是否在定义域内、根的个数及根的大小进行分类 【例8】讨论的单调性 分析：,根的情况转化为根的情况. 步骤一：讨论(有1个根). 步骤二：讨论(不在定义域内) 步骤三：讨论(均在定义域内,根据的大小再分) 答案： (1),在上是增函数,在上是减函数；(步骤一二合并) (2)在上是增函数,在上是减函数； (3),在上是增函数； (4), 在上是增函数,