第2章 7 对数与对数函数-（课件+达标训练）2023老教材老高考数学（文）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P299] 保分练 1．设a＝log30.5，b＝log0.20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a 解析　因为对数函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以log30.5<log31＝0.因为对数函数y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，所以0＝log0.21<log0.20.3<log0.20.2＝1.因为指数函数y＝2x在R上单调递增，所以20.3>20＝1.综上可知，a<b<c. 答案　A 2．函数y＝ln 的图象为(　　) 解析　易知2x－3≠0，即x≠，排除C，D.当x>时，函数为减函数；当x<时，函数为增函数，所以选A. 答案　A 3．若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2<0，则下列关系中正确的是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．a<c<b 解析　根据不等式的性质和对数的换底公式可得 <<<0， 即log2c<log2b<log2a<0， 可得c<b<a<1.故选C. 答案　C 4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1.2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　) A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1 解析　由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝lg ，得－26.7＋1.45＝lg ，则lg ＝－25.25， ∴lg ＝－10.1，lg ＝10.1，∴＝1010.1.故选A. 答案　A 5．已知函数f(x)＝log2(1－|x|)，则关于函数f(x)有下列说法： ①f(x)的图象关于原点对称； ②f(x)的图象关于y轴对称； ③f(x)的最大值为0； ④f(x)在区间(－1，1)上单调递增． 其中正确的是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 解析　f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数， ∴①错误，②正确； 根据f(x)的图象(图略)可知④错误； ∵1－|x|≤1，∴f(x)≤log21＝0，故③正确． 答案　C 6．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是____________． 解析　令x－3＝1，则x＝4，∴y＝loga1－1＝－1， 故点P的坐标为(4，－1). 答案　(4，－1) 7．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为____________ . 解析　依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－≥－，当log2x＝－，即x＝时等号成立．所以函数f(x)的最小值为－. 答案　－ 8．若函数f(x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0，2]上的最大值为2，则实数a＝____________． 解析　令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0，2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝. 当a>1时，y＝logau是增函数，f(x)max＝loga4＝2， 得a＝2； 当0<a<1时，y＝logau是减函数，f(x)max＝loga＝2，得a＝(舍去).故a＝2. 答案　2 9．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠0)，且f(1)＝2. (1)求实数a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在区间上的最大值． 解析　(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，且a≠1)， ∴a＝2.由得－1<x<3， ∴函数f(x)的定义域为(－1，3). (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]. ∴当x∈[0，1]时，f(x)单调递增； 当x∈时，f(x)单调递减， 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2. 10．已知函数f(x)＝log2. (1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值； (2)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围． 解析　(1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0， ∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0. 经验证当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数． ∴a＝0. (2)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2. 由题设得log2(1＋a)－log2≥2， 则log2(1