第3章 1 导数的概念及运算-（课件+达标训练）2023老教材老高考数学（文）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P307] 保分练 1．(2021·沈阳模拟)曲线f(x)＝2ex sin x在点(0，f(0))处的切线方程为(　　) A．y＝0 B．y＝2x C．y＝x D．y＝－2x 解析　∵f(x)＝2ex sin x，∴f(0)＝0，f′(x)＝2ex(sin x＋cos x)，∴f′(0)＝2，∴所求切线方程为y＝2x. 答案　B 2.已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，设a＝f(3)－f(2)，则下列结论正确的是(　　) A．f′(2)<f′(3)<a B．f′(2)<a<f′(3) C．f′(3)<a<f′(2) D．a<f′(3)<f′(2) 解析　a＝f(3)－f(2)＝， ∴a表示曲线上两点A(2，f(2))，B(3，f(3))连线的斜率， 由图知，曲线切线的斜率越来越小， ∴f′(3)<a<f′(2). 答案　C 3．已知函数f(x)＝x2＋cos x，则其导函数f′(x)的图象大致是(　　) 解析　f′(x)＝x－sin x， ∴f′(x)为奇函数，排除B，D， 又f′＝－sin ＝－<0， 故选A. 答案　A 4．(2021·东莞检测)已知直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝ln x相切，则k等于(　　) A． B． C．e D．e2 解析　由f(x)＝ln x，得f′(x)＝，设切点为(x0，ln x0)，则解得x0＝e2，则k＝＝. 答案　A 5．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为(　　) A．∪ B． C．∪ D． 解析　y′＝3x2－， ∴y′≥－， ∴tan α≥－， 又α∈[0，π)， 故α∈∪. 答案　C 6．已知函数y＝f(x)的图象在x＝2处的切线方程是y＝3x＋1，则f(2)＋f′(2)＝____________． 解析　切点坐标为(2，f(2))， ∵切点在切线上， ∴f(2)＝3×2＋1＝7， 又k＝f′(2)＝3， ∴f(2)＋f′(2)＝10. 答案　10 7．已知函数f(x)＝＋ex cos x，若f′(0)＝－1，则a＝____________ . 解析　f′(x)＝＋ex cos x－ex sin x ＝＋ex cos x－ex sin x， ∴f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2. 答案　2 8．(2021·宜昌模拟)若抛物线y＝x2－x＋c上的一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为____________． 解析　∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5. 又P(－2，6＋c)，∴＝－5.∴c＝4. 答案　4 9．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R). (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 解析　f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2). (1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0， 即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－. 所以a的取值范围为∪. 10．已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 解析　(1)根据题意，得f′(x)＝3x2＋1. 所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13， 所以要求的切线方程为y＝13x－32. (2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1， 所以直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16. 又直线l过点(0，0)，则(3x＋1)(0－x0)＋x＋x0－16＝0， 整理得x＝－8，解得x0＝－2， 所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k′＝13， 所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26). 提升练 11．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2022(x)等于(　　) A．－sin x－cos x B．sin x－cos x C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x 解析　∵f1(x)＝sin x＋cos x， ∴f2(x)＝f′1(x)＝cos x－sin x，