第一章 特殊平行四边形（单元小结）-2022-2023学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

新课标 北师大版 九年级上册 第一章 特殊平行四边形 单元小结 本章知识架构 2022/7/25 2 知识专题 除具有平行四边形的性质外,还有: 1.菱形的四条边都相等 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 3.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 4.既是中心对称图形,又是轴对称图形 B D A C 菱形的性质 一、菱形 2022/7/25 3 知识专题 1.有一组邻边相等的平行四边形(定义) 2.对角线互相垂直的平行四边形 3.四条边都相等的四边形 菱形的判定 是菱形 B D A C 2022/7/25 4 知识专题 二、矩形 矩形的性质 除具有平行四边形的性质外,还有: 1.矩形的四个角都是直角 2.矩形的对角线相等 3.矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形。 A B D C O 2022/7/25 5 知识专题 A B D C O 矩形的判定 1.有一个角是直角的平行四边形(定义) 2.对角线相等的平行四边形 3.有三个角是直角的四边形 是矩形 2022/7/25 6 知识专题 定义 性质 对称性 判定 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 四条边都相等 对角线互相垂直平分且相等 既是轴对称图形, 又是中心对称图形 有一组邻边相等的矩形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 正方形 四个角都是直角 对角线互相垂直的 矩形是正方形 有一个角是直角 的菱形是正方形 三、矩形 2022/7/25 7 知识专题 四边形 平行 四边形 矩 形 菱 形 一组邻边相等 正方形 两组对边分别平行 两组对边分别相等 一组对边平行且相等对角线互相平分 一角为直角且一组邻边相等 一角为90° 对角线相等 一组邻边相等 四、四边形的关系图 对角线互相垂直 一角为90° 对角线相等 对角线互相垂直 四条边相等 三个角是直角 2022/7/25 8 知识专题 五、中点四边形 一般四边形的中点四边形： 决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系 原四边形对角线关系 不相等、不垂直 相等 垂直 相等且垂直 所得中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 2022/7/25 9 考点专练 1.如图, 在菱形ABCD中, 对角线AC与BD交于点O. 过点C作BD的平行线, 过点D作AC的平行线, 两直线相交于点E． (1)求证：四边形OCED是矩形； (2)若CE=1, DE =2, 则菱形ABCD的面积是　　　　． 10 考点专练 解　 (1)证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, ∴∠COD=90°. ∵CE∥OD, DE∥OC, ∴四边形OCED是平行四边形. 又∠COD=90°, ∴ OCED是矩形. (2)由(1)知, 四边形OCED是矩形, 则OD=CE=1, OC=DE=2. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC=2OC=4, BD=2OD=2, ∴菱形ABCD的面积为 AC·BD= ×4×2=4. 故答案是：4. 考点专练 2.如图, 在正方形ABCD 中, 点E, H, F, G 分别在边AB, BC, CD, DA上, EF, GH 相交于点O , ∠FOH= 90°, EF=4 ．求GH的长． 考点专练 解：如图，过点A作AM∥GH交BC于点M，过点B作BN∥EF交CD于点N，AM与BN相交于点O′，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，∴EF＝BN，GH＝AM. ∵∠FOH＝90°，AM∥GH，EF∥BN， ∴∠NO′A＝90°，∴∠MAB＋∠O′BA＝90°. 又∵∠NBC＋∠NBA＝∠ABC＝90°， ∴∠MAB＝∠NBC.又∵AB＝BC，∠ABM＝∠C＝90°， ∴△ABM≌△BCN，∴AM＝BN，∴GH＝EF＝4. 13 考点专练 3. 如图, 在△ABC 中, ∠ACB =90°, D, E, F 分别是AB, BC, CA的中点. 若CD= 2 , 则线段EF的长是______. 2 14 考点专练 4. 如图, 将矩形纸片ABCD ( AD＞AB)折叠, 使点C 刚好落在线段AD上, 且折痕与边BC, AD分别相交于点E, F, 设折叠后点C, D的对应点分别为点G, H ． (1)判断四边形CEGF的形状, 并证明你的结论； (2)若AB=3, BC =9, 求线段CE长的取值范围． 15 考点专练 解： (1)四边形CEGF是菱形. 证明：如图1-Z-6, 连接CG. 由折叠知EF垂直平分CG, ∴FC=FG, EC=EG. ∵AD∥BC,∴∠GFE =∠CEF. 由折叠