第二章 第二节 函数的单调性与最值（word教师用书）-2023高考数学（文科）一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教 全国版）

　 知识梳理 1．单调函数 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 3．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 学霸笔记 1．单调性的几个结论 在公共定义域内： (1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数； (2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数； (3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数； (4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)是减函数； (5)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (6)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反； (7)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调性 “对勾函数”y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0， ]. 3．函数最值的结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值． 进阶诊断 1．判断正误 (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　×　) (2)函数y＝f(x)在[1, ＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1, ＋∞).(　×　) (3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　×　) (4)所有的单调函数都有最值．(　×　) 2．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　D　) A．f(x)＝－x　　　　　　 B．f(x)＝()x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 解析：函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(x)＝()x是指数函数，底数∈(0，1)，所以函数f(x)在R上是减函数；函数f(x)＝x2是二次函数，在(－∞，0]上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数；函数f(x)＝＝x是幂函数，指数>0，所以函数f(x)在R上是增函数． 3．(教材习题改编)函数y＝－2x2－4ax＋3在区间[－4，－2]上是单调函数，则a的取值范围是(　C　) A．(－∞，1] B．[4，＋∞) C．(－∞，2]∪[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞) 解析：函数y＝－2x2－4ax＋3的图象的对称轴为x＝－a，由题意可得－a≤－4或－a≥－2，解得a≤2或a≥4. 4．(忽视函数的定义域致错)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是__[－1，1)__． 解析：由条件知解得－1≤a<1. (1)求函数y＝的单调区间． (2)判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在[1，2]上的单调性． 解：(1)令u＝x2＋x－6， y＝可以看作是y＝与u＝x2＋x－6的复合函数． 由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2. ∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在[0，＋∞)上是增函数． ∴y＝的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞). (2)函数f(x)＝ax2＋(1<a<3)在[1，2]上单调递增． 证明如下：设1≤x1<x2≤2， 则f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－ ＝(x2－x1). 由1≤x1<x2≤2，得x2－x1>0，2<x1＋x2<4， 1<x1x2<4，－1<－<－. 又因为1<a<3，所以2<a(x1＋x2)<12， 得a(x1＋x2)－>0， 从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 故当a∈(1，3)时，f(x)在[1，2]上单调递增．