第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性（word教师用书）-2023高考数学（文科）一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（北师大 全国版）

　 1 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2 会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性． 3 了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 知识梳理 1．函数的奇偶性 图像关于原点对称的函数叫作奇函数． 图像关于y轴对称的函数叫作偶函数． (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数； ②f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数． 2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，就把f(x)称为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期． 周期函数定义的实质 存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次． 学霸笔记 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x， (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 3．函数图像的对称性 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图像关于点(b，0)中心对称． 进阶诊断 1．判断正误 (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．(　×　) (2)若函数f(x)是奇函数，则一定有f(0)＝0.(　×　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　√　) (4)若函数y＝f(x＋2)是奇函数，则函数y＝f(x)的图像关于点(2，0)中心对称．(　√　) 2．下列函数中为偶函数的是(　B　) A．y＝x2sin x　　　　　 B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x 解析：根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项的定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数． 3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　B　) A.－　　 B． C．　　 D．－ 解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝. 4．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(x)的解析式为f(x)＝． 5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，则f(9)＝____1____． 6．我们知道，函数y＝f(x)的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为“函数y＝f(x)的图像关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数”，则函数f(x)＝x3－3x2图像的对称中心是__(1，－2)__． 　函数的奇偶性　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 函数奇偶性的判断 1．(2021·广东肇庆模拟)下列函数为偶函数的是(　D　) A．y＝sin x B．y＝ln (－x) C．y＝ex D．y＝ln 解析：由函数奇偶性的定义知D项为偶函数． 2. (2022·百校联盟质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　B　) A．y＝x sin x B．y＝x ln x C．y＝ D．y＝x ln (－x) 解析：A中，y＝x sin x为偶函数，D中，y＝x ln (－x)是偶函数． B中，函数y＝x ln x的定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数． C中，f(－x)＝＝＝－f(x)，则y＝为奇函数． 3．已知函数f(x)＝则该函数的奇偶性是_