第一章 第二节 常用逻辑用语（word教师用书）-2023高考数学（文科）一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（北师大 全国版）

　 1 理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 2 理解充分条件、必要条件与充要条件的含义． 知识梳理 1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题． 2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且q p (1)A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B\a\vs4\al() A； (2)A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A\a\vs4\al() B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误． 学霸笔记 1．否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论． 2．充要关系与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 3．在判断充分、必要条件时，小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围，如x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围) x>2(小范围). 进阶诊断 1．判断正误 (1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　×　) (2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　) (3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　√　) (4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　√　) 2．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　C　) A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1 C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝ 解析：命题“若p，则q”的逆否命题是“若¬q，则¬p”，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”． 3．“x＝－3”是“x2＋3x＝0”的(　C　) A．充要条件　　　　　 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由x2＋3x＝0，解得x＝－3或x＝0，则当“x＝－3”时一定有“x2＋3x＝0”，反之不一定成立，所以“x＝－3”是“x2＋3x＝0”的充分不必要条件． 4．(2021·洛阳模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的(　A　) A．否命题 B．逆命题 C．逆否命题 D．否定形式 解析：由否命题的特点可知命题α是命题β的否命题． 5．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是__(－∞，2]__． 解析：由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}，∴a≤2. 　命题及其关系　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2021·江西师大附中模拟)给出以下命题： ①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③若ab是正整数，则a，b都是正整数； ④若f(x)是增函数，g(x)是减函数，则f(x)－g(x)是减函数． 其中为真命题的是____①____(填序号). 解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，但不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故③为假命题；④构造函数f(x)＝x，g(x)＝－x，则f(x)－g(x)＝2x，显然f(x)－g(x)是增函数，故④为假命题．综上①为真命题． 2．(2021·太原质检)命题p：若x>0，则x>a；命题q：若m≤a－2，则m<－1.若p的逆命题，q的逆否命题都是真命题，则实数a的取值范围是__[0，1)__． 解析：命题p的逆命题是：若x>a，则x>0，当它是真命题时，a≥0.又q的逆否命题为真命题，则命题q为真命题，即若m≤a－2，则m<－1，∴a－2<－1，即a<1，综上有0≤a<1． 3．能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)＝sin_x，x∈[0，2](答案不唯一)． 解析：根据函数