第一章 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件（word教师用书）-2023高考数学（理科）一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教 全国版）

[]　 知识梳理 1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒/ p p是q的必要不充分条件 p⇒/ q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/ q且q⇒/ p 设“若p，则q”为原命题，那么：当原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；当原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件； 当原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件； 当原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件． 学霸笔记 1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若AB，则p是q的充分不必要条件； (5)若AB，则p是q的必要不充分条件； (6)若A⃘B且A⊉ B，则p是q的既不充分也不必要条件． 4．在判断充分、必要条件时，小可以推大，大不可以推小，如x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围) x>2(小范围). 进阶诊断 1．判断正误 (1)“x－3>0”是命题．(　×　) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则¬p ”．(　×　) (3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　√　) (4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　) (5)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　√　) 2．(2021·天津卷)已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的(　A　) A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由题意，若a＞6，则a2＞36，故充分性成立；若a2＞36，则a＞6或a＜－6，推不出a＞6，故必要性不成立；所以“a＞6”是“a2＞36”的充分不必要条件． 3．(教材习题改编)已知△ABC的三边分别为a，b，c，那么“a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca”是“△ABC为等边三角形” 的充要条件． 4．(忽视特殊情况致误)命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b>0”的充分不必要条件． 解析：若向量a与向量b的夹角θ为锐角，则cos θ＝>0⇒a·b>0；而a·b>0时，θ＝0°也成立，但此时a与b夹角不为锐角．故p是q的充分不必要条件． 考点1　命题及其关系　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．原命题：a，b为两个实数，若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1.下列说法错误的是(　C　) A．原命题是真命题 B．逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，为假命题 C．否命题为：a，b为两个实数，若a＋b<2，则a，b都大于等于1，为假命题 D．逆否命题为：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a＋b<2，为真命题 解析：原命题的逆否命题是“a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a＋b＜2”，显然是真命题，故原命题也是真命题，所以A，D正确；B正确，例如：当a＝2，b＝－1时，a＋b＜2.原命题的逆命题是假命题，所以原命题的否命题也是假命题；C错误，原命题的否命题为“a，b为两个实数，若a＋b＜2，则a，b都小于1”． 2．给出下列四个命题： ①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若c≤1，则x2＋2x＋c ＝0有实根”的逆命题； ④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题． 其中真命题的个数是(　A　) A．1　　　　　 B．2　　　　　 C．3　　　　　D．4 解析：①逆命题是“若b2＝9，则b＝3”，是假命题；②否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，是假命题；③逆命题是“若x2＋2x＋c＝0有实根，则c≤1”，∵方程x2＋2x＋c＝0有实根，∴Δ＝4－4c≥0，∴c≤1，∴③是真命题； ④∵若A∪B＝A，则B⊆A，∴“若A∪B＝A，则A⊆B”是假命题，∴其逆否命题也是假命题． 3．(2021·浙江嘉兴期末)命题“全等三角形一定相似”的逆命题是相似三角形一定全等．它的逆命题，否命题，逆否命题三个命题中真命题的个数有____1____个． 解析：命题“全等三角形一定相似”的逆命题是“相似三角形一定全