第一章 第三节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”（word教师用书）-2023高考数学（理科）一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（北师大 全国版）

　 知识梳理 1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词． (2)命题p且q，p或q，¬p的真假判断 p q p且q p或q ¬p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等． (2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等． 3．全称命题和特称命题 名称 全称命题 特称命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 简记 任意x∈M，p(x) 存在x0∈M，p(x0) 否定 存在x0∈M，¬p(x0) 任意x∈M，¬p(x) 学霸笔记 1．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p或q→见真即真，p且q→见假即假，p与¬p→真假相反． 2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”． 3．“p或q”的否定是“(¬p)且(¬q)”，“p且q”的否定是“(¬p)或(¬q)”． 4．逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题． 进阶诊断 1．判断正误 (1)命题“3≥2”是真命题．(　√　) (2)命题p和¬p不可能都是真命题．(　√　) (3)“三角形的内角和为180°”是特称命题．(　×　) (4)写全称命题的否定时，全称量词变为存在量词．(　√　) 2．命题“∃x<0，使x2－3x＋1≥0”的否定是(　C　) A．∃x<0，使x2－3x＋1<0 B．∃x≥0，使x2－3x＋1<0 C．∀x<0，使x2－3x＋1<0 D．∀x≥0，使x2－3x＋1<0 3.(2021·郑州质检)已知命题p：任意x>0，3x>1；命题q：若a<b，则a2<b2，下列命题为真命题的是(　B　) A．p且q　　　　　　 B．p且(¬q) C．(¬p)且q D．(¬p)且(¬q) 解析：p：任意x>0，3x>1为真命题，则¬p为假命题，取a＝－2，b＝－1，则a2>b2，所以q为假，¬q为真命题， 因此p且(¬q)为真命题． 4．下列命题中的假命题是(　C　) A．∃x∈R，lg x＝1 B．∃x∈R，sin x＝0 C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0 解析：当x＝10时，lg x＝1，故A是真命题；当x＝0时，sin x＝0，故B是真命题；当x＝－1时，x3<0，故C是假命题；由指数函数的值域知D是真命题． 5. 若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为____1____． 解析：∵函数y＝tan x在上是增函数， ∴ymax＝tan ＝1.依题意知，m≥ymax， 即m≥1，∴m的最小值为1. 考点1　含有逻辑联结词的命题的真假　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2021·西安检测)已知命题p：若a>|b|，则a2>b2；命题q：m，n是直线，α为平面，若m∥α，nα，则m∥n.下列命题为真命题的是(　B　) A．p且q　　　　　　　 B．p且(¬q) C．(¬p)且q D．(¬p)且(¬q) 解析：对于命题p：若a>|b|，则a2>b2，∴p真．对于命题q：由m∥α，nα，则m与n可能异面或平行，∴q假，则¬q为真．因此p且(¬q)为真命题． 2．(2021·全国卷乙卷改编)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是(　A　) A．p且q B．(¬p)且q C．p且(¬q) D．¬(p或q) 解析：对于命题p：∃x∈R，sin x<1， 当x＝0时，sin x＝0<1，故命题p为真命题，¬p为假命题； 对于命题q：∀x∈R，e|x|≥1，因为|x|≥0，又函数y＝ex为单调递增函数，故e|x|≥e0＝1， 故命题q为真命题，¬q为假命题， 所以p且q为真命题，(¬p)且q为假命题，p且(¬q)为假命题，¬(p或q)为假命题． 3．命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是(　B　) A．p或q B．p且q C．q D．¬p 解析：取x＝，y＝，可知命题p是假命题； 由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故¬p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题． 4．设a，b，c是非零向量．已知命题p: 若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(　A　) A．p或q B．p且q C．(¬p)且(¬q) D．p且(¬q) 解