第二章 第一节 函数的概念及表示（word教师用书）-2023高考数学（理科）一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（北师大 全国版）

　 知识梳理 1．函数的基本概念 (1)函数的定义 给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B或y＝f(x)，x∈A，此时x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域． (2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． (3)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图像法． 2．分段函数 (1)若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数． (2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交． 学霸笔记 1．函数的定义域和值域是非空数集． 2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图像有0个或1个交点． 3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的思想解决分段函数问题． 4．常见基本初等函数定义域的要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}． (5)y＝ax(a>0，且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R. (6)y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞). (7)y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z} . 进阶诊断 1．判断正误 (1)函数y＝1或y＝x0是同一个函数．(　×　) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　×　) (3)已知f(x)＝5(x∈R)，则f(x2)＝25.(　×　) (4)函数f(x)的图像与直线x＝1最多有1个交点．(　√　) 2．下列函数f(x)与g(x)是同一个函数的是(　C　) A．f(x)＝x－1，g(x)＝－1 B．f(x)＝x2，g(x)＝()4 C．f(x)＝x2，g(x)＝ D．f(x)＝x，g(x)＝ 3．函数y＝·的定义域是__[2，＋∞)__． 4．函数y＝x＋的值域是__)__． 5．已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝__4__． 6．函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，当x∈(－1.5，1.5]时，函数f(x)的解析式是f(x)＝． 考点1　求函数的定义域　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2021·陕西西安检测)已知函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝的定义域是(　C　) A．(－∞，－2)∪(－2，3] B．(－8，－2)∪(－2，1] C．∪(－2，0] D． 解析：∵f(x)的定义域为[－8，1]， ∴ 解得－≤x≤0，且x≠－2. ∴g(x)的定义域为∪(－2，0]. 2．记函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝lg [(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B.若B⊆A，则实数a的取值范围为__(－∞，－2]∪)__． 解析：由已知得A＝{x|x<－1或x≥1}， B＝{x|(x－a－1)(x－2a)<0}， 由a<1得a＋1>2a，∴B＝{x|2a<x<a＋1}． ∵B⊆A，∴a＋1≤－1或2a≥1， ∴a≤－2或≤a<1. ∴a的取值范围为(－∞，－2)∪). 3．(2020·北京卷)函数f(x)＝＋ln x的定义域是__(0，＋∞)__． 解析：要使函数有意义，需满足 即x＞0.所以函数的定义域为(0，＋∞). 4．(2021·重庆巴蜀中学月考)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x－2)的定义域为__(，1)__． 解析：∵f(x)的定义域为(－1，0)，由－1＜2x－2＜0，解得＜x＜1.∴函数f(2x－2)的定义域为(，1). 1.具体函数的定义域问题 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式（组），得出不等式（组）的解集即可． 2.抽象函数的定义域问题 （1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，其复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出； （2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]上的值域． 考点2　求函数的解析式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　讲练融通 (1)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)； (2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x). 解：(1