第二章 第二节 函数的单调性与最值（word教师用书）-2023高考数学（理科）一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（北师大 全国版）

　 知识梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的 图像 描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或减少的，那么就称A为单调区间． (1)单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征 一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可． (2)单调性的两种等价形式 设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2， ①>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． 2．函数的最值 前提 函数y＝f(x)的定义域为D 条件 (1)对于任意x∈D，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈D，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 学霸笔记 1．单调性的几个结论 在公共定义域内， (1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)单调递增． (2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)单调递减． (3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递增． (4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递减． (5)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (6)函数y＝f(x)(f(x)>0)与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． (7)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．“对勾函数y＝x＋(a>0)”的单调性 “对勾函数y＝x＋(a>0)”的增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，]. 3．函数最值的结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值． 进阶诊断 1．判断正误 (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　×　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞).(　×　) (3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　×　) (4)所有的单调函数都有最值．(　×　) 2．下列函数中，在(－∞，＋∞)上是增函数的为(　B　) A．f(x)＝－3x＋2　　　　 B．f(x)＝3x＋2 C．f(x)＝ D．f(x)＝－ 3.f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为(　C　) A．3 B．1 C．2 D．4 4．设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为__[－1，1]和[5，7]__． 5．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是(－∞，40]∪[160，＋∞)． 6．某汽车租赁公司的月收益y(单位：元)与每辆车的月租金x(单位：元)间的关系为y＝－＋162x－21 000，那么当每辆车的月租金为__4_050__元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是__307_050__元． 考点1　判断函数单调性　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　讲练融通 (1)(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　D　) A．f(x)＝－x B．f(x)＝()x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ (2)判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在[1，2]上的单调性． (1)解析：函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(x)＝()x是指数函数，底数0<<1，所以函数f(x)在R上是减函数；函数f(x)＝x2是二次函数，在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数；函数f(x)＝＝x是幂函数，指数>0，所以函数f(x)在R上是增函数． (2)解：函数f(x)＝ax2＋(1<a<3