第一章 第一节 集 合（word教师用书）-2023高考数学（理科）一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（北师大 全国版）

　 知识梳理 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 2．集合间的基本关系 关系 表示 文字语言 符号语言 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ∅是集合，不含任何元素；{0}含有一个元素0；{∅}含有一个元素∅，且∅∈{∅}和∅⊆{∅}都正确． 3．集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形 表示 集合 表示 {x|x∈A， 或x∈B} {x|x∈A， 且x∈B} {x|x∈U， 且x∉A} 补集∁UA是针对给定的集合A和U(A⊆U)相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合U，它的补集不同． 4．集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 学霸笔记 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个． 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁UA)⊇(∁UB). 3．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 进阶诊断 1．判断正误 (1)任何一个集合都至少有两个子集．(　×　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　) (3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　×　) (4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　√　) (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　×　) 2．已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为(　D　) A．{－1}　　　　　　　 B．{1} C．{－1，1} D．{－1，0，1} 3．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0<x≤4}，则A∪B＝(　A　) A．[－1，4] B．(0，3] C．(－1，0]∪(1，4] D．[－1，0]∪(1，4] 4．集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝(　B　) A．{x|2≤x<4} B．{x|3≤x<4} C．{x|2<x<4} D．{x|3<x<4} 5. 设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为__(1，2]__． 解析：由题意得解得 所以1<a≤2. 6．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}． 考点1　集合的含义与表示　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　D　) A．　　　 B．　　　 C．0　　　 D．0或 解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.故a＝0或a＝. 2．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则(　D　) A．M＝N B．M⊆N C．M∩N＝∅ D．N⊆M 解析：易知M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N⊆M. 3．(2021·全国甲卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1, n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　C　) A．∅ B．S C．T D．Z 解析：任取t∈T，则t＝4n＋1＝2·(2n)＋1，其中n∈Z，所以t∈S，故T⊆S，因此，S∩T＝T. 4．已知a，b∈R，若 ＝{a2，a＋b，0}，则a2 023＋b2 023＝____－1____． 解析：由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 023＋b2 023＝(－1)2 023＋02 023＝－1. 与集合中的元素有关问题的求解思路 (1)确定集合的元素特征，即集合是数集还是点集． (2)看清元素的限制条件． (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，但要检验参数是否满足集合中元素的互异性． 考点2　集合间的基本关系