2.4 曲线与方程-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)

第二章 平面解析几何几何 2.4曲线与方程 知识梳理 一 曲线方程的定义 在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程上的解为坐标的点都在曲线上； 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。 二 求轨迹方程的基本流程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．五种轨迹方程求法： （1）直接法：当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法； （2）定义法：当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法； （3）代入法（相关点法）：当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法； （4）消参法：求动点轨迹方程时借助中间参量得到横纵坐标关系，进一步得到方程； （5）交轨法：求两条动曲线交点轨迹方程时可由方程直接消去参数，得到轨迹方程。 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 常见考点 考点一 曲线与方程的概念、点与曲线的位置关系 典例1．已知命题“方程的解为坐标的点都是曲线C上的点”是真命题，则下列命题正确的是（       ）. A．曲线C上的点的坐标都是方程的解； B．坐标不满足方程的点不在曲线上； C．曲线C是方程的曲线； D．不是曲线C上的点的坐标，一定不满方程. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据曲线与方程的定义来解题即可. 【详解】 因为方程的解为坐标的点都是曲线C上的点， 不妨取方程，曲线取双曲线对应的曲线， 则，双曲线的左支上的点的坐标不满足方程，故A错误； 双曲线的左支上的点的坐标不满足方程，但该点在双曲线上，故B错误；由曲线与方程的定义可知，C选项错误； 因为以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以D选项正确. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查曲线与方程的定义，属于概念辨析题. 变式1-1．已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（ ） A．曲线上的点的坐标都适合方程 B．不在上的点的坐标必不适合 C．凡坐标不适合的点都不在上 D．不在上的点的坐标有些适合，有些不适合 【答案】B 【解析】 【分析】 根据曲线与方程的概念，可以举具体函数来说明选项的正确与错误，进而可得答案． 【详解】 根据题意可以举例方程为，曲线为单位圆，可知方程表示的曲线为曲线的一部分，结合选项知A，C，D都不正确，只有B正确． 故选B． 【点睛】 本题主要考查了曲线与方程的概念，对于选择题可以举例说明，属基础题． 变式1-2．设曲线和的交点为P，那么曲线必定（       ） A．经过P点 B．经过原点 C．不一定经过P点 D．经过P点和原点 【答案】A 【解析】 【分析】 根据交点的性质，运用代入法进行判断即可. 【详解】 设曲线和的交点为P的坐标为， 因此有且，因此， 所以曲线必定经过P点， 故选：A 变式1-3．若点在曲线上，则实数a的值等于（       ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【解析】 【分析】 将点的坐标代入到方程可得选项． 【详解】 由已知得，解得． 故选：A． 【点睛】 本题考查曲线上的点与方程的解的关系，属于基础题． 考点二 由方程求曲线的图形 典例2．方程所表示的曲线为（       ） A．射线 B．直线 C．射线或直线 D．无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】 将方程化为或，由此可得所求曲线. 【详解】 由得：或，即或， 方程所表示的曲线为射线或直线. 故选：C. 变式2-1．方程表示的曲线是（       ） A．圆 B．半圆与一条直线 C．一条直线 D．两条直线 【答案】D 【解析】 【分析】 由等价于或，进而可以判断表示的曲线. 【详解】 因为，即，所以或，因此表示的曲线是两条直线， 故选：D. 变式2-2．方程y＝表示的曲线是（       ） A．一个圆 B．两条射线 C．半个圆 D．一条射线 【答案】C 【解析】 【分析】 把方程两边平方，注意变量的取值范围，可得选项． 【详解】 由得，即，∴曲线表示圆x2＋y2＝36在x轴上方的半圆． 故选：C. 【点睛】 易错点睛：把方程变形化为圆的标准方程（或直线的一般方程），但在变化过程中要注意变量取值范围的变化，如本题有，因此曲线只能是半圆，对直线可能是射线也可能线段，这与变量取值范围有关． 变式2-3．方程表示的曲线是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析