专题1.3 动点中的定值和最值问题（强化）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题1.3 动点中的定值和最值问题 【例题精讲】 如图，矩形对角线、相交于点，点是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，若，，则的值为　　 A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4 【解答】解：连接， 矩形的两边，， ，，，，， ，， ， ． 故选：． 如图，在周长为12的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：作点关于的对称点，连接交于点，则． ． 由两点之间线段最短可知：当、、在一条直线上时，的值最小，此时． 四边形为菱形，周长为12， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ． 的最小值为3． 故选：． 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为　　． 【解答】解：连接， ，且，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，的值最小， 此时，的面积， ， 的最小值为； 故答案为：． 如图，在正方形中，，点，分别在，上，，，相交于点，连接．点从点运动到点的过程中，的最小值为　　． 【解答】解：如图， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是以为直径的， 当，，共线时，的值最小，最小值， 故答案为． 【题组训练】 和为定值 1．如图，在菱形中，点是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为24，面积为24，则的值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：延长交于点，如图所示： 在菱形中，，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 菱形的周长为24， ， 菱形面积为24， ， ， 故选：． 2．如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点．于点．若菱形的周长为20，面积为24，则的值为　　 A．4 B． C．6 D． 【解答】解：连接，如图， 四边形为菱形，菱形的周长为20， ，， ， ， ， 故选：． 3．如图，在矩形中，，，点在上，于，于，则等于　　 A． B． C． D． 【解答】解：方法一：设，． ，； ，故①； 同理可得，故②． ①②得， ． 方法二：（面积法） 如图，作于，则， ， ， ， ． 故选：． 4．如图，在矩形中，，，为上一动点，于，于，则的值为　　． 【解答】解：连接， 四边形是矩形， ，，，， ，， ，， ，， ，， ， ． 故答案为． 5．如图，在正方形中，，是边上的动点，于点，于点，则的值为　　 A．4 B． C． D．2 【解答】解：在正方形中，，， ，， 四边形为矩形，是等腰直角三角形， ，， ， 正方形的边长为2， ． 故选：． 6．如图，矩形的对角线，相交于点，点是边上的一个动点，过点分别作于点，于点．若，，则的值为　　 A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4 【解答】解：连接， 矩形的两边，， ，，，，， ，， ， ． 故选：． 7．如图，在边长为1的正方形中，对角线和相交于点，是边上任意一点，于点，于点，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：四边形是正方形， ，，，，， ，， ， 于点，于点， ，是等腰直角三角形， 四边形是矩形，， ， ； 故选：． 8．如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，点是上一动点（不与、重合），过点作和的垂线，垂足分别为、，则的值是　　 A． B． C． D．3 【解答】解：如图所示，连接，过点作于， ，， 由勾股定理可得，， 即， 解得：， 在矩形中，， ， ． 故． 故选：． 9．如图，菱形的周长为16，面积为12，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于　　 A．6 B．3 C．1.5 D．0.75 【解答】解：连，如图， 菱形的周长为16， ， ， ， 而，，， ， ， ． 故选：． 将军饮马最小值 11．如图，正方形边长为1，点，分别是边，上的两个动点，且，连接，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：连接，如图1， 四边形是正方形， ，． 又， ． ． 所以最小值等于最小值． 作点关于的对称点点，如图2， 连接，则、、三点共线， 连接，与的交点即为所求的点． 根据对称性可知， 所以． 在中，，， ， 最小值为． 故选：． 13．如图，菱形中，对角线、交于点，，，点是的中点，点在上，则的最小值为　　 A． B． C． D．13 【解答】 解：如图，连接交于点，连接，作于点， 四边形是菱形， ，且，即是的垂直平分线， 且值最小 是的中点，，，， ， 故选：． 14．如图，菱形的边长为，，点、在对角线上运动，且，连接、，则周长的最小值是　　 A．4 B． C． D．6 【解答】解：如图作，使得，连接交于，则的值最小，即的周长最小． ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 菱形的边长为，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 在中，， 的最小值4， 的周长的最小值， 故选：．