第四章 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数-【金版教程】2023高考理科数学一轮复习解决方案word（老教材，经典版）

第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念 (1)分类 (2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l＝|α|r；③扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2． 说明：②③公式中的α必须为弧度制. 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0). 如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线． (3)三角函数值在各象限内的符号 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 1．任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0). 2．象限角 3．轴线角 4．重要结论 若α∈，则tan α>α>sin α. 1．给出下列四个命题： ①－是第二象限角；②是第三象限角； ③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角． 其中正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　－是第三象限角，故①错误；＝π＋，从而是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．故选C. 2．若tan α＞0，则(　　) A．sin α＞0 B．cos α＞0 C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0 答案　C 解析　由tan α＞0知角α是第一或第三象限角，当α是第一象限角时，sin 2α＝2sin αcos α＞0；当α是第三象限角时，sin α＜0，cos α＜0，仍有sin 2α＝2sin αcos α＞0.故选C. 3．设角α的终边与单位圆相交于点P，则sin α－cos α的值是(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　A 解析　由题意知sin α＝－，cos α＝，所以sin α－cos α＝－－＝－.故选A. 4．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 答案　C 解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有选项C正确．故选C. 5．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　　) A．10π B．9π C． D． 答案　D 解析　单位圆的半径r＝1，200°的弧度数是200×＝，由弧度数的定义得＝，所以l＝.故选D. 6．(2021·北京高考)若点P(cos θ，sin θ)与点Q关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝ ． 答案　 解析　P(cos θ，sin θ)与Q关于y轴对称，即θ，θ＋的终边关于y轴对称，θ＋＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，则θ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，可取θ的一个值为. 考向一　角的概念及表示 例1　(1)设集合M＝，N＝，判断两集合的关系为(　　) A．M＝N B．MN C．NM D．M∩N＝∅ 答案　B 解析　解法一：由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有MN.故选B. 解法二：在集合M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；在集合N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有MN.故选B. (2)(2021·江西九江质量检测)若角α是第一象限角，则是(　　) A．第一或第二或第三象限角 B．第一或第三或第四象限角 C．第二或第三或第四象限角 D．第一或第二或第四象限角 答案　A 解析　∵α是第一象限角，∴2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z.∴＜＜＋，k∈Z.当k＝3n(n∈Z)时，是第一象限角；当k＝3n＋1(n∈Z)时，是第二象限角；当k＝3n＋2(n∈Z)时，是第三象限角．故选A. 　　 1．终边相同的角的集合的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来